Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Considere um arame fino com o formato da hélice de parametrização r → t = t , cos ⁡ t , sin ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 1 . Calcule o comprimento da curva e a massa do arame, sabendo que a densidade do fio em cada ponto é igual ao quadrado da sua distância à origem.

Passo 1

Comprimento de uma curva C , a essa altura do campeonato, é nos dado por uma integral de linha bem especial...

C o m p r i m e n t o = ∫ C   1   d s

De forma especial também, temos a massa. A massa de uma curva, arame, é dada por:

M a s s a = ∫ C   δ x ,   y , z   d s

Onde δ x ,   y , z é a função de densidade que já-já determinaremos ;)

Passo 2

Vamos primeiro calcular o comprimento.

∫ C   1   d s

Para resolver essa integral de linha, vamos seguir o passo a passo da resolução direta:

1º - Parametrizar a curva C .

2º - determinar o termo d s .

Bora?

Passo 3

A primeira etapa para a nossa alegria é bem simples, pois nem precisamos fazer nada, afinal de contas, a curva já se encontra parametrizada:

r → t = t , cos ⁡ t , sin ⁡ t

e o t ...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Quanto ao termo d s , desse não podemos fugir. Devemos calcula-lo como manda o figurino, ops! A fórmula kkk

d s = r → ' t d t

Derivando...

r → ' t = t , cos ⁡ t , sin ⁡ t '

r → ' t = 1 , - sin ⁡ t , cos ⁡ t

Calculando o módulo...

r → ' t = 1 2 + - sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2

r → ' t = 1 + sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

r → ' t = 1 + 1

Logo...

d s = 2   d t

Passo 5

Substituindo tudo e calculando a integral...

∫ C   1   d s = ∫ 0 1 2   d t =

2 t 0 1 = 2

O comprimento da curva é

2   u . c .

Onde u . c . significa unidades de comprimento.

Passo 6

Ainda nos falta calcular a massa...

M a s s a = ∫ C   δ x ,   y , z   d s

Observe que a função de densidade ainda precisa ser determinada. Bem, essa função de acordo com o enunciado é dada pelo quadrado da distância d de um ponto a origem. Essa distância é...

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2   →

d = x 2 + y 2 + z 2

Colocando a distância ao quadrado...

δ x ,   y ,   z = d 2 = x 2 + y 2 + z 2

Para resolver essa integral, calculemos seguindo o mesmo passo-a-passo, e na verdade, os dois primeiros passos serão idênticos, afinal é a mesma curva e, portanto, mesmo d s . A única coisa que vamos ter que fazer mesmo é substituir os termos da parametrização na função.

Passo 7

Na parametrização...

r → t = t , cos ⁡ t , sin ⁡ t

x = t , y = cos ⁡ t enquanto isso z = sin ⁡ t .

Substituindo na função de densidade...

δ x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 →

δ r → t = t 2 + cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t   →

δ r → t = t 2 + 1

Substituindo então na integral de linha...

∫ C   δ x ,   y , z   d s = ∫ 0 1 t 2 + 1   2   d t =

  2 ∫ 0 1 t 2 + 1   d t =

  2 t 3 3 + t 0 1 =

4 2 3   u . m .

Onde u . m . é a unidade de massa.

Resposta

Comprimento: 2   u . c .

Massa: 4 2 3   u . m .

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