Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Considere a curva C definida por

r t = t 2 , cos ⁡ 2 π t , sen ⁡ 2 π t

com 0 ≤ t ≤ 1 .

  1. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto correspondente a t = π / 4 .
  2. Escreva a integral que representa o comprimento de C .

Passo 1

Show, vamos começar pela letra (a). A reta tangente, que a gente vai chamar de g u , no ponto t = π / 4 vai ser dada por

g ⁡ u = r π 4 + u ⋅ r ' π 4 .

Então, precisamos calcular r π / 4 e r ' π / 4 . Show, substituindo na curva dada, temos

r π 4 = π 4 2 , cos ⁡ 2 π ⋅ π 4 , sen ⁡ 2 π ⋅ π 4

= π 2 16 , cos ⁡ π 2 2 , sen ⁡ π 2 4 .

Para encontrar r ' π / 4 , vamos derivar r t . Assim,

r ' t = 2 t , - 2 π ⋅ sen ⁡ 2 π t , 2 π cos ⁡ 2 π t

Então, no ponto π / 4 ,

r ' π 4 = 2 ⋅ π 4 , 2 π sen ⁡ 2 π ⋅ π 4 , 2 π cos ⁡ 2 π ⋅ π 4

= π 2 , - 2 π sen ⁡ π 2 2 , 2 π cos ⁡ π 2 2

E aí substituímos na fórmula da reta tangente, ficando

g ⁡ u = π 2 16 , cos ⁡ π 2 2 , sen ⁡ π 2 4 + u ⋅ π 2 , - 2 π sen ⁡ π 2 2 , 2 π cos ⁡ π 2 2

g u = π 2 16 + u ⋅ π 2 , cos ⁡ π 2 2 + u ⋅ - 2 π sen ⁡ π 2 2 , sen ⁡ π 2 4 + u ⋅ 2 π cos ⁡ π 2 2    

Assim, para cada coordenadas, teremos as equações paramétricas

x u = π 2 16 + u ⋅ π 2

y u = cos ⁡ π 2 2 + u ⋅ - 2 π sen ⁡ π 2 2

z u = sen ⁡ π 2 4 + u ⋅ 2 π cos ⁡ π 2 2

Em que u é um parâmetro tal que u ∈ R .

Passo 2

Show, vamos para letra (b) agora. O comprimento de C vai ser dado pela integral:

∫ t 0 t f r '   t d t  

Como a curva C está definida em 0 ≤ t ≤ 1 , temos que que t 0 = 0 e t f = 1 . Falta determinar r '   t . Vimos no passo anterior, que

r ' t = 2 t , - 2 π ⋅ sen ⁡ 2 π t , 2 π cos ⁡ 2 π t .

Assim, temos

r '   t = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

= 2 t 2 + - 2 π ⋅ sen ⁡ 2 π t 2 + 2 π cos ⁡ 2 π t 2

= 4 t 2 + 4 π 2 sen 2 ⁡ 2 π t + 4 π 2 cos 2 ⁡ 2 π t

Repara só, podemos colocar o 4 π 2 em evidência. Assim, vamos ter

4 t 2 + 4 π 2 sen 2 ⁡ 2 π t + cos 2 ⁡ 2 π t .

Opa, pelo teorema fundamental da trigonometria, para todo ângulo a

sen 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ a = 1 .

Assim, vamos ter

4 t 2 + 4 π 2 sen 2 ⁡ 2 π t + cos 2 ⁡ 2 π t

= 4 t 2 + 4 π 2

Podemos melhorar ainda mais, colocando o 4 em evidência e tirando da raiz

= 4 t 2 + π 2

= 2 t 2 + π 2 .

Assim, a nossa integral vai ficar

∫ t 0 t f r '   t d t = 2 ∫ 0 1 t 2 + π 2 d t .  

O problema só pediu para escrever a integral, então não precisamos calculá-la. 😊

Resposta

  1. x u = π 2 16 + u ⋅ π 2

    y u = cos ⁡ π 2 2 + u ⋅ - 2 π sen ⁡ π 2 2

    z u = sen ⁡ π 2 4 + u ⋅ 2 π cos ⁡ π 2 2

2 ∫ 0 1 t 2 + π 2 d t .

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