Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

1) Considere a curva C obtida como interseção da superfície 4 x 2 + y - 4 2 - z 2 = 0 com o plano z = - y + 2 , com y ≤ 4 :

  1. Esboce C .
  2. Forneça uma parametrização regular de C .
  3. Calcule a integral de linha:
  4. I = ∫ C   z + e x 8 x 2 + 3 8 x 2 + 1 ⋅ d s

  5. Calcule equações cartesianas da reta tangente a C em 0 ,   3 ,   - 1 .

Passo 1

a )

Bem, para esboçar a curva C , antes temos que conhecer bem as superfícies que estão a definindo. A primeira superfície dada por essa equação bizarra

4 x 2 + y - 4 2 - z 2 = 0

não é tão chata quanto parece, pois man, se você arrumar essa expressão um pouquinho...

z 2 = 4 x 2 + y - 4 2

Olha só como ficou mais elegante! É um cone meio com bases elípticas, mas a única diferença notável nele, é que ele está deslocado em y por 4 unidades a direita em y :

Passo 2

A outra superfície também não é muito feia! É um plano z = - y + 2 . Se estivéssemos no plano z y , essa equação nos representaria uma reta, como estamos no espaço, temos uma coordenada a mais. Mas como a equação independe de x , é como se “puxássemos” a reta em torno de x :

Só que esse plano está cortando o cone:

Passo 3

Agora só tem mais um detalhe: queremos a parte do corte para ser a curva C , mas a parte que queremos é do y ≤ 4 .

Como se do eixo central do cone para a esquerda é a curva que interessa, saca?

Eis a curva aberta C pedida :D

Passo 4

b )

Bem, a curva está definida na intersecção do cone com o plano. Na matemática, essa intersecção é dada pelo sisteminha com as equações de ambas as superfícies...

z 2 = 4 x 2 + y - 4 2 z = - y + 2

Se isolarmos o y em função de z na segunda e substituirmos na primeira...

y = 2 - z

Então

z 2 = 4 x 2 + 2 - z - 4 2       →

    z 2 = 4 x 2 + - z - 2 2       →               z 2 = 4 x 2 + - 1 z + 2 2

z 2 = 4 x 2 + - 1 2 z + 2 2

como - 1 2 = 1 ...

z 2 = 4 x 2 + z + 2 2           →                   z 2 = 4 x 2 + z 2 + 4 z + 4           →

0 = 4 x 2 + 4 z + 4               →                     x 2 + z + 1 = 0

z = - x 2 - 1

Epa! Se chamarmos x de t , temos o z em função direta de t ...

z = - t 2 - 1

e quanto ao y ...

y = 2 - z = 2 - - t 2 - 1 =

3 + t 2

Então, uma boa parametrização para a curva é...

γ t = t ,   3 + t 2 ,   - t 2 - 1

Agora é aquilo neh... Nunca saímos de uma parametrização sem antes determinar onde varia a variável!

Passo 5

Bem, para encontra a restrição do parâmetro t , vamos usar a única restrição do nosso problema que até agora não entrou na jogada...

y ≤ 4

Como y é...

3 + t 2 ≤ 4

t 2 ≤ 1           →                 t = ± 1

Então o parâmetro t , varia entre - 1 e 1 ...

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 6

Parametrização concluída, só nos resta saber se ela é regular ou não. Para isso, basta calcular a derivada da parametrização...

γ t = t ,   3 + t 2 ,   - t 2 - 1       →         γ ' t = 1 ,   2 t ,   - 2 t

Como para nenhum valor de t essa parametrização 0 , ela é regular e portanto pode sim ser usada saca

Passo 7

c )

Pow! Para resolver a integral de linha que é do caso escalar

I = ∫ C   z + e x 8 x 2 + 3 8 x 2 + 1 ⋅ d s

Normalmente seguimos um passo a passo bem maroto:

1º - Parametrizamos a curva...

2º - Encontramos o termo d s ...

3º - Em seguida buscamos a função que estamos integrando em teremos da parametrização.

Mas a nossa sorte, é que o primeiro cara já está feito, e a segunda tarefa quase toda completa. A única diferença é que...

d s = γ ' t d t

Como a derivada nós já temos, basta extrair o módulo...

d s = γ ' t d t       →           d s = 1 2 + 2 t 2 + - 2 t 2 d t

d s = 8 t 2 + 1   d t

Passo 8

Enquanto isso, a terceira tarefa ainda não está concluída, afinal devemos substituir os termos da parametrização na função...

z + e x 8 x 2 + 3 8 x 2 + 1 =

- t 2 - 1 + e t 8 t 2 + 3 8 t 2 + 1 =

- t 2 - 1 + e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1

Passo 9

Substituindo na integral de linha...

I = ∫ C   z + e x 8 x 2 + 3 8 x 2 + 1 ⋅ d s =

∫ - 1 1 - t 2 - 1 + e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1 ⋅ 8 t 2 + 1   d t =

∫ - 1 1 - t 2 - 1 + e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1   d t =

∫ - 1 1 - t 2 - 1 8 t 2 + 1 + e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1   d t =

Dividindo essa integral em 2 ...

∫ - 1 1 - t 2 - 1 8 t 2 + 1   d t + ∫ - 1 1 e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1   d t =

∫ - 1 1 - 8 t 4 - 9 t 2 - 1   d t + ∫ - 1 1 e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1   d t

Calculando a primeira integral...

∫ - 1 1 - 8 t 4 - 9 t 2 - 1   d t = - 8 t 5 5 - 3 t 3 - t - 1 1 =

- 8 5 - 3 - 1 - - 8 - 1 5 5 - 3 - 1 3 - - 1 = 2 - 8 5 - 3 - 1 =

- 56 5

Agora calculando a segunda integral fazendo uma substituição simples...

8 t 3 + 3 t = a         →             d a = 3 ⋅ 8 t 2 + 3 d t

d a = 3 8 t 2 + 1 d t

Substituindo também os limites de integração...

t = - 1           →               a = - 8 - 3 = - 11

t =   1           →               a = 8 + 3 = 11

∫ - 1 1 e 8 t 3 + 3 t 8 t 2 + 1   d t = ∫ - 11 11 e a d a 3 =

e a 3 - 11 11 = e 11 3 - 1 3 e 11

Então podemos fala que I ...

I = - 56 5 + e 11 3 - 1 3 e 11

Passo 10

d )

Bem, acho mais fácil primeiro encontramos, no caso de uma reta no espaço, as equações paramétricas dessa reta. Toda reta no espaço, pode ser escrita da forma...

x = a + v 1 r

y = b + v 2 r

z = c + v 3 r

Onde o ponto a ,   b ,   c é um ponto pertencente a reta, no caso,   0 ,   3 ,   - 1 :

x = v 1 r

y = 3 + v 2 r

z = - 1 + v 3 r

Já o vetor v → = v 1 ,   v 2 ,   v 3 , é o vetor de direção da reta. Como a reta é tangente a curva, nesse ponto já mencionado, a derivada da curva nesse ponto me dá a direção dessa reta...

γ ' t = 1 ,   2 t ,   - 2 t       →             γ ' t = 1 ,   2 t ,   - 2 t

Como x = t e x = 0 no ponto mencionado, então...

γ ' 0 = 1 ,   0 ,   0

Substituindo na reta...

x = r

y = 3

z = - 1

Com o x variando livremente, vemos que a reta, está amarrada a dois planos:

y = 3

e

z = - 1

Essas são as equações cartesianas da reta no espaço, sempre dois planos concorrentes.

Resposta

a )

b )

γ t = t ,   3 + t 2 ,   - t 2 - 1

- 1 ≤ t ≤ 1

c )

I = - 56 5 + e 11 3 - 1 3 e 11

d ) y = 3 z = - 1

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