Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Integre f x , y , z = x - 3 y 2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ( 0,0 , 0 ) ao ponto ( 1,1 , 1 ) passando primeiro por ( 1,1 , 0 ) . Dado a parametrização r t = t i + t j + t k , 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

A ideia é a seguinte: vamos integrar aquea função sobre o seguinte caminho: saímos da origem e vamos para o ponto ( 1,1 , 0 ) , e dali seguimos para ( 1,1 , 1 ) .

Os pontos 0,0 , 0 , 1,1 , 1 e ( 1,1 , 0 ) não são colineares, então apesar de que a questão ter mencionado “um segmento de reta que passa pelos três pontos”, é impossível existir um segmento como esse. Por isso, não poderemos usar a parametrização que o enunciado deu.

Mas ainda podemos resolver a questão!

Precisamos, na verdade, fazer um caminho como esse para passar pelos três pontos:

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte: de ( 0,0 , 0 ) para ( 1,1 , 0 ) . O primeiro passo é achar uma parametrização simples para esse trajeto.

Se tomarmos essa parametrização:

σ t = ( t , t , 0 )

E fizermos o t variar de 0 até 1 , teremos percorrido exatamente o caminho certo.

Passo 3

Agora lembre da fórmula para montar uma integral de linha (já substituímos nossos limites de integração):

∫ 0 1 f σ t . σ ' ( t ) d t

Já podemos calcular σ ' ( t ) . Primeiro derivamos:

d d t σ t = d d t t , t , 0 = ( 1,1 , 0 )

E depois achamos o módulo desse vetor:

( 1,1 , 0 ) = 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2

Além disso, podemos achar f ( σ t ) :

f x , y , z = x - 3 y 2 + z

E substituindo x = t , y = t , z = 0 :

f σ t = t - 3 t 2 + 0 = t - 3 t 2

Passo 4

Agora podemos substituir tudo na integral:

∫ 0 1 f σ t . σ ' ( t ) d t

∫ 0 1 ( t - 3 t 2 ) ( 2 ) d t = 2 ∫ 0 1 ( t - 3 t 2 ) d t

Agora a integral é bastante simples:

2 ∫ 0 1 ( t - 3 t 2 ) d t = 2 ( 1 ) 2 2 - 1 3 = 2 1 2 - 1 = - 2 2

Passo 5

Agora precisamos ir do ponto 1,1 , 0 até ( 1,1 , 1 ) . Perceba que nesse caso x e y se mantém constantes e iguais a 1 , e só o z muda. Nossa parametrização pode ser a seguinte:

α t = ( 1,1 , t )

E vamos fazer t variar entre 0 e 1 .

Lembrando da fórmula de antes:

∫ 0 1 f α t . α ' ( t ) d t

Começamos calculando α ' ( t ) . A derivada é:

d d t α t = d d t 1,1 , t = ( 0,0 , 1 )

E o módulo desse vetor é:

( 0,0 , 1 ) = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

Por último, precisamos obter f ( α t ) . Para isso, é só substituir x = 1 , y = 1 e z = t :

f α t = 1 - 3 1 2 + t = t - 2

Passo 6

Agora é só jogar tudo isso naquele fórmula de antes:

∫ 0 1 f α t . α ' ( t ) d t

∫ 0 1 ( t - 2 ) ( 1 ) d t

E a integral fica bastante simples:

∫ 0 1 ( t - 2 ) d t = ( 1 ) 2 2 - 2 1 = 1 2 - 2 = - 3 2

Somando os dois valores que encontramos:

- 3 2 - 2 2 = - 3 + 2 2

Resposta

O valor da integral no caminho escolhido é - 3 + 2 2 .

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