Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

Ver Teoria

Enunciado

Um pedaço de arame tem a forma da curva C interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 - 2 x + y como plano z - y = 1 . Calcule a massa do arame se a densidade é dada por ρ x , y , z = x 2 .

Passo 1

Pra achar a massa do arame, é só fazer a integral de linha da densidade, o que nos leva pra uma integral de linha escalar, que a gente resolve usando nossa conhecida fórmula:

∫ C ρ x , y , z d s = ∫ a b ρ x t , y t , z t σ → ' t d t

E ele dá a densidade já, então só vamos ter que parametrizar a curva pra achar o vetor tangente e depois jogar tudo na fórmula.

Passo 2

Temos a interseção de duas superfícies, uma é bem tranquila, é só um plano:

z - y = 1 → z = 1 + y

Mas a outra é bem mais complicada:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 - 2 x + y

⇒ x 2 + 2 x + y 2 + z 2 = 1

⇒ ( x 2 + 2 x + 1 ) + y 2 + 2 y + 1 + z 2 = 1 + 1 + 1

⇒ x + 1 2 + y + 1 2 + z 2 = 3

Uma esfera descentralizada.

Agora temos que achar a projeção da curva no plano x y e, pra isso, é só substituir a z lá do plano na esfera:

x + 1 2 + y + 1 2 + 1 + y 2 = 3

⇒ x + 1 2 + 2 y + 1 2 = 3

Que é uma elipse descentralizada que podemos parametrizar assim:

σ → t = 3 cos ⁡ t - 1 , 3 2 sen ⁡ t - 1 ,       0 ≤ t ≤ 2 π

A coordenada z nós tiramos daquela equação do plano e, assim, ficamos com:

z = 1 + y → z = 3 2 sen ⁡ t

⇒ C : σ → t = 3 cos ⁡ t - 1 , 3 2 sen ⁡ t - 1 , 3 2 sen ⁡ t

Passo 3

Agora vamos achar o módulo do vetor tangente:

σ → ' t = d x d t , d y d t , d z d t = - 3 sen ⁡ t , 3 2 cos ⁡ t , - 3 2 cos ⁡ t

Aí a gente calcula o módulo:

σ → ' t = - 3 sen ⁡ t 2 + 3 2 cos ⁡ t 2 + - 3 2 cos ⁡ t 2 = 3 sen 2 ⁡ t + 3 2 cos 2 ⁡ t + 3 2 cos 2 ⁡ t

= 3 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 3

Ufa, pelo menos isso ficou tranquilo... Vamos ver como que vai ficar a fórmula toda, então!

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula que tínhamos lá em cima, a gente fica com:

∫ a b ρ x t , y t , z t σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ t - 1 2 3   d t

⇒ 3 ∫ 0 2 π 3 cos 2 ⁡ t - 2 3 cos ⁡ t + 1   d t

⇒ 3 ∫ 0 2 π 3 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t - ∫ 0 2 π 2 3 cos ⁡ t d t + ∫ 0 2 π 1   d t

Calma, tamos quase lá...

⇒ 3 3 2 t │ 0 2 π + sen ⁡ 2 t 2 │ 0 2 π - 2 3 sen ⁡ t │ 0 2 π + t │ 0 2 π

3 3 2 2 π + 0 - 0 + 2 π

⇒ 3 3 π + 2 π = 5 π 3

E pronto, chegamos na resposta!

Resposta

5 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x = 10 c o s t ,y = 10 s e n t . A altura da cerca na posição x , y é dada pela função h x , y = 4 + 0,01 ( x 2 - y 2 ) , portanto a altura varia 3
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )d s , onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1ey = 2 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y ) , onde C é a interseção das superfícies z = x 2 + y 2ez = 4 .