Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Questão 3) Sabendo que um arame tem o formato da curva C

C : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,     z ≥ 0   x + y = 1                                                                    

Seja ρ x ,   y ,   z = z , a função densidade linear do arame. Determine a massa do arame.

Passo 1

Pow, é sempre bom a gente ficar atento ao vocabulário do exercício:

  • Arame = Curva
  • Massa de Curva = Uma Integral de linha

E essa integral de linha que calcula a massa é uma especial:

M a s s a = ∫ C   ρ x ,   y ,   z   d s

Veja que já temos do enunciado a função densidade ρ , logo, temos que, antes de fazer o algebrismo, encontrar a função C (Os limites de integração) e d s . Bora?

Passo 2

Para encontrar esses dois caras é primordial determinar antes uma parametrização para a curva (é assim com qualquer integral de linha, se lembra?). A curva C é dada por...

C : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,     z ≥ 0   x + y = 1                                                                    

Como você já sabe, parametrizar uma curva, de um modo geral, é colocar as três coordenadas em função de um parâmetro t . Bem... Já que temos x e y definidos em linearmente, podemos colocar uma função do outro fácil...

y = 1 - x

Veja que podemos realizar então uma parametrização explícita, onde... x é o parâmetro t , o y e o z , sai a partir dele...

x = t

y = 1 - t

x 2 + y 2 + z 2 = 1         →           t 2 + 1 - t 2 + z 2 = 1           →

z 2 = 1 - t 2 - 1 - 2 t + t 2         →

z 2 = 2 t - 2 t 2             c o m o         z ≥ 0               …

z = 2 t - 2 t 2

Essa basicamente já é a parametrização, mas colocando de uma forma mais charmosa...

r → t = t ,   1 - t ,   2 t - 2 t 2

Passo 3

Bem, eu poderia dizer que acabou a parametrização e que é só isso, mas estaria mentindo para você ! Toda parametrização nos exige dizer onde o parâmetro varia. Sim, porque a nossa curva não é infinita, certo?

Mas relaxa, que para tirar a informação de onde t varia, vamos utilizar a informação do enunciado:

z ≥ 0

Então...

2 t - 2 t 2 ≥ 0

Elevando ao quadrado...

2 t - 2 t 2 ≥ 0

Resolvendo então essa equação do segundo grau, encontramos dois valores de t

t 0 = 0

2 t 1 - t = 0     →   t 1 = 1

Desenhando essa parábola...

Onde percebemos que a parábola assume valores positivos entre 0 e 1 , ou seja, o parâmetro t só pode estar entre...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Agora devemos encontrar d s , já que o intervalo de variação de t já foi descoberto...

d s = r → ' t d t

Como

r → t = t ,   1 - t ,   2 t - 2 t 2             →

r → ' t = 1 ,   - 1 , 1 2 2 t - 2 t 2 ⋅ 2 - 4 t   →

r → ' t = 1 ,   - 1 , 1 - 2 t 2 t - 2 t 2   →

Tirando o módulo...

r → ' t = 1 2 + - 1 2 + 1 - 2 t 2 t - 2 t 2 2     →

r → ' t = 2 + 1 - 2 t 2 2 t - 2 t 2     →

Tirando “MMC” e colocando tudo sobre uma fração só...

r → ' t = 2 2 t - 2 t 2 2 t - 2 t 2 + 1 - 2 t 2 2 t - 2 t 2                 →       r → ' t = 2 2 t - 2 t 2 + 1 - 2 t 2 2 t - 2 t 2     →

r → ' t = 4 t - 4 t 2 + 1 - 4 t + 4 t 2 2 t - 2 t 2                       →                       r → ' t = 1 2 t - 2 t 2

Portanto o termo d s fica sendo...

d s = 1 2 t - 2 t 2     d t

Passo 5

Show! Agora ta acabando, basta voltar para a integral...

M a s s a = ∫ C   ρ x ,   y ,   z   d s

E substituir:

  • C 0 ≤ t ≤ 1
  • ρ x ,   y ,   z que é igual a z , vira em função de t ... ρ r → t = 2 t - 2 t 2
  • d s 1 2 t - 2 t 2     d t

M a s s a = ∫ 0 1 2 t - 2 t 2   1 2 t - 2 t 2 d t =

M a s s a = ∫ 0 1 1 d t = 1

Resposta

1   u . m

Onde u . m . é unidade de massa.

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