Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Questão 1) Seja C o arco da curva

x 2 = 4 y   z = ln ⁡ x - ln ⁡ 2

Cujo ponto de início é 2 ,   1 ,   0 e o seu ponto de término é 4 ,   4 , ln ⁡ 2 .

  1. Determinar uma parametrização lisa da curva C .
  2. Determinar o comprimento da curva C .

Passo 1

a )

Poxa, parametrizar uma curva, acredito que você se lembra, mas caso tenha esquecido... Parametrizar é descrever todas as coordenadas dela em função de um parâmetro t e quando digo todas as coordenadas, quero dizer o x , o y ,e o z . Lembrou-se?

Veja bem, a nossa curva, que está no espaço, é a intersecção dessas equações...

x 2 = 4 y   z = ln ⁡ x - ln ⁡ 2

Repare que o z dessa curva está escrito explicitamente em função de x , sugerindo que façamos uma parametrização explícita, onde x será o parâmetro t ...

x = t

O z já fica em função do parâmetro...

z = ln ⁡ t - ln ⁡ 2

E o y também quando passamos o 4 pro outro lado...

y = t 2 4

Essa basicamente já é a parametrização, mas colocando de uma forma mais elegante uma boa parametrização é...

r → t = t , t 2 4 ,   ln ⁡ t - ln ⁡ 2

Passo 2

Bem, eu poderia dizer que acabou a parametrização e que é só isso, mas estaria mentindo para você ! Toda parametrização nos exige dizer onde o parâmetro varia. Sim, porque a nossa curva não é infinita, certo?

Mas relaxa, que para tirar a informação de onde t varia, vamos utilizar a informação do enunciado:

Cujo ponto de início é 2 ,   1 ,   0 e o seu ponto de término é 4 ,   4 , ln ⁡ 2 .”

Para encontrar o t incial ( t i n ) , basta igualar o ponto inicial a curva...

2 ,   1 ,   0 = t , t 2 4 ,   ln ⁡ t - ln ⁡ 2

Daí podemos ver na primeira coordenada que t deve ser 2 ...

t i n = 2

Para o t final ( t f i ) ...

4 ,   4 , ln ⁡ 2 = t , t 2 4 ,   ln ⁡ t - ln ⁡ 2           →               t f i = 4

Portanto o parâmetro t varia do t inicial ao t final...

t i n ≤ t ≤ t f i       →

2 ≤ t ≤ 4

Passo 3

Agora veja que o problema nos pediu uma parametrização lisa! Será que essa parametrização satisfaz essa condição?

Para ela ser lisa, basta que ela seja duas coisas:

  1. Contínua!
  2. A derivada não nula!

Veja a parametrização que encontramos é contínua

r → t = t , t 2 4 ,   ln ⁡ t - ln ⁡ 2

Pois cada argumento é contínuo.

E também a derivada...

r → ' t = 1 , t 2 , 1 t

Não é nula pra nenhum valor de t ! O que torna sim a parametrização lisa

Passo 4

b )

Todo vez que o problema nos pedir comprimento de arco, o que ele quer que a gente faça é resolver uma integral de linha desse tipo aqui oh...

C o m p r i m e n t o   d e   C = ∫ C   r → ' t d t

E veja que a derivada a gente já tem e a variação de t também, faltando apenas encontrar o módulo da derivada. Bora?

Passo 5

Primeiro extraindo o módulo do vetor derivada...

r → ' t = 1 2 + t 2 2 + 1 t 2     →

r → ' t = 1 + t 2 4 + 1 t 2     →

r → ' t = 4 t 2 4 t 2 + t 4 4 t 2 + 4 4 t 2             →         r → ' t = t 4 + 4 t 2 + 4 4 t 2

Repare que t 4 + 4 t 2 + 4 = t 2 + 2 2 completando quadrado, então, por ser t > 0 ...

r → ' t = t 2 + 2 2 4 t 2 = t 2 + 2 2 t         →

r → ' t = t 2 + 1 t

Passo 6

Voltando para a integral...

C o m p r i m e n t o   d e   C = ∫ C   r → ' t d t

Trocando C na integral pela variação de t e tirando aquele módulo dali, ficamos...

C o m p r i m e n t o   d e   C = ∫ 2 4 t 2 + 1 t d t =

t 2 4 + ln ⁡ t 2 4 =

4 + ln ⁡ 4 - 1 + ln ⁡ 2 =

3 + ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2

Lembrando que ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 4 2 ...

C o m p r i m e n t o   d e   C = 3 + ln ⁡ 2

Resposta

a )       r → t = t , t 2 4 ,   ln ⁡ t - ln ⁡ 2 ,           t ∈ 2 ,   4

b )   3 + ln ⁡ 2

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