Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja f x , y , z = x 2 + 2 y + 3 z . Calcular a integral da função F ( x , y , z ) sobre a curva C definida por r t = - 2 t i + 3 t j - t ( k ) onde t varia no intervalo [ 0,1 ] .

Passo 1

Quando integramos um campo sobre uma curva, estamos falando de uma integral de linha. Se o campo é escalar (e não vetorial), como nessa questão, temos que usar a “fórmula”da integral de linha para o caso escalar:

I = ∫ C f   d s = ∫ a b f r t . v t →   d t

Ok? Então só o que precisamos fazer é achar todos aqueles fatores que aparecem na integral.

Passo 2

Começamos obtendo f ( r t ) , que é simplesmente a função composta do campo e da curva. O enunciado deu essas duas funções:

f x , y , z = x 2 + 2 y + 3 z

r t = - 2 t i + 3 t j - t k

A função composta é:

f r t = - 2 t 2 + 2 3 t + ( 3 ) ( - t )

f r t = 4 t 2 + 6 t - 3 t = 4 t 2 + 3 t

Passo 3

Agora precisamos achar o módulo do vetor velocidade da nossa curva. Lembrando que:

v t → = d d t r t →

v t → = d d t - 2 t , 3 t , - t

Para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes, então:

v t → = d d t - 2 t , d d t 3 t , d d t - t

v t → = ( - 2,3 , - 1 )

Ok, e como calculamos o módulo de um vetor? Usando essa fórmula aqui:

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

Então:

v t → = - 2 2 + 3 2 + - 1 2 = 4 + 9 + 1 = 14

Passo 4

Agora já podemos substituir tudo na integral e resolver:

I = ∫ a b f r t . v t →   d t

Lembrando que o enunciado disse que o t varia em [ 0,1 ]

I = ∫ 0 1 ( 4 t 2 + 3 t ) . 14   d t

Tirando a constante:

I = 14 ∫ 0 1 ( 4 t 2 + 3 t )   d t

E como a integral desse polinômio é 4 t 3 3 + 3 t 2 2 , o valor de I é:

I = 14 4 1 3 3 + 3 1 2 2 = 14 4 3 + 3 2 = 14 8 + 9 6 = 14 17 6

Resposta

O valor da integral é 17 6 14 .

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