Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja C a curva obtida pela interseção do cilindro elíptico x 2 + 2 y 2 = 2 com o plano z = 10 - y , satisfazendo x ≤ 0 . Parametrize a curva C e calcule ∫ C   x 2 d s .

Passo 1

Como a curva pertence ao cilindro elíptico, sabemos que sua projeção no plano x y é uma elipse dada por:

x 2 2 + y 2 = 1

Podemos, então, parametrizar essa curva por ( 2 cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   z ) . Precisamos, agora, escrever z em função no nosso parâmetro θ , certo? Sabemos que a curva também pertence ao plano, então, temos z = 10 - y . Como já definimos y = s e n   θ , temos z = 10 - s e n   θ e a parametrização será dada por:

σ → = ( 2 cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   10 - s e n   θ   )

Para termos x ≤ 0 , temos π / 2 ≤ θ ≤ 3 π / 2 .

Passo 2

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 2 cos ⁡ θ d θ , d s e n   θ d θ ,   d 10 - s e n   θ d θ = ( - 2 s e n   θ , cos ⁡ θ ,   - cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - 2 s e n   θ 2 + cos ⁡ θ 2 + - cos ⁡ θ 2 =

= 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ =

= 2

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x 2 em função de θ :

∫ a b f x θ ,   y θ ,   z ( θ ) .   | σ → ' |   d θ

∫ π / 2 3 π / 2 2 cos ⁡ θ 2 . 2 d θ =

= 2 2 ∫ π / 2 3 π / 2 cos 2 ⁡ θ d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver a integral usar a fórmula do arco duplo cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 :

= 2 2 ∫ π / 2 3 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

= 2 θ + s e n   2 θ 2 π / 2 3 π / 2 =

= 2 3 π 2 + 0 - π 2 π / 2 3 π / 2 =

Resposta

2 π

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