Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja C a interseção das superfícies y = x 2 + z 2 e y = 3 - 2 x . A integral ∫ C 1 + z 2 d s e igual a:

Passo 1

Pra começar vamos encontrar essa interseção e parametrizá-la igualando as funções.

y = x 2 + z 2

y = 3 - 2 x

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x 2 + z 2 = 3 - 2 x

x 2 + 2 x + z 2 = 3

x 2 + 2 x + 1 + z 2 = 4

x + 1 2 + z 2 = 4

Parametrizando ficamos então com

σ t = ( 2 cos ⁡ t - 1 ,   y ,   2 s e n t )

Com t variando entre zero e 2 π .

Ainda precisamos do valor de y na parametrização, no entanto já temos os valors de x e z, então simplesmente substituímos esses valores em uma das funções.

y = x 2 + z 2

y = 2 cos ⁡ t - 1 2 + 2 s e n   t 2

y = 4 cos 2 ⁡ t - 4 cos ⁡ t + 1 + 4 s e n 2 ( t )

y = 5 - 4 c o s ⁡ ( t )

Então nossa parametrização final fica:

σ t = ( 2 cos ⁡ t - 1 ,   5 - 4 c o s ⁡ ( t ) ,   2 s e n t )

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Agora partindo pra o termo d s   ( m ó d u l o   d e r i v a d a   d a   p a r a m e t r i z a ç ã o ) d t :

σ ' t = - 2 s e n t ,   4 s e n t , 2 cos ⁡ t

σ ' t = 4 s e n 2 t + 16 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t

= 2 1 + 4 s e n 2 t d t

Passo 3

Para o próximo passo já podemos substituído tudo dentro da integral, sem esquecer de escrever o campo em função da parametrização.

∫ C 1 + z 2 d s = ∫ 0 2 π 1 + 4 s e n 2 t + 2 1 + 4 s e n 2 t   d t

2 ∫ 0 2 π 1 + 4 s e n 2 t d t

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

2 ∫ 0 2 π 1 + 2 - 2 cos ⁡ 2 t d t

2 3 t + 2 s e n 2 t 2 0 2 π = 12 π

Resposta

12 π

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