Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Sejam

S 1 = x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x = y 2 + z 2 ,

S 2 = x ,   y ,   z ∈ R 3 |   y = 1 ,

U = x ,   y ,   z ∈ R 3 |   0 ≤ x ≤ 5 ,

C = S 1 ∩ S 2 ∩ U .

  1. Esboce a curva espacial C e exiba uma parametrização regular α para a mesma.
  2. Seja P o ponto de C cuja coordenada z é 1 . Encontre uma parametrização da reta tangente a α em P .
  3. Calcule as equações implícitas da reta tangente a α em P (i.e, para o valor do parâmetro que corresponde ao ponto P ).
  4. Calcule a integral de linha

∫ C   x - y - z 2 - 8 z d s

Passo 1

Letra a) Então, vamos começar esse problema, antes de ver a curva C propriamente, entendendo quem são as superfícies que a compõe, bora?:)

Bem, a primeira delas é essa equação aqui x = y 2 + z 2 : essa equação aí representa um paraboloide.

Mas calma, não é um paraboloide qualquer! É um paraboloide com o eixo em x , pois é ele que está em função dos outros ao quadrado, percebeu?

Pois bem, depois essa curva foi repartida pelo plano y = 1 . Um plano paralelo ao plano X Z , dessa forma

A última restrição foi que a curva estivesse 0 ≤ x ≤ 5 :

Repare que ela já não passa mesmo abaixo de 0 , mas acima, ela pode passar, por isso vamos pegar o pedacinho só que está indo até o x = 5

Logo a curva C , nessa intercessão é

Passo 2

Ok, vamos achar então uma parametrização para essa curva que parece muito um pedaço de parábola.

Bem, como fizemos graficamente, essa curva foi a intersecção do plano y = 1 com x = y 2 + z 2 :

x = y 2 + z 2           ⇒               x = 1 2 + z 2

x = 1 + z 2

Epa! É realmente uma parábola no espaço

Se chamarmos z = t ,

x = 1 + z 2         ⇒           x = 1 + t 2

e lembrando que a parábola está em cima do plno y = 1 , temos uma boa parametrização explícita α da forma

α t = 1 + t 2 ,   1 ,   t

Para descobrir o limite t , olhamos para o limite que nos foi dado, ou seja, a curva não pode passar de x = 5 . Como x = 1 + t 2 ...

5 = 1 + t 2       ⇒           t 2 = 4

t = ± 2

Ou seja, t está entre esse - 2 e 2 :

- 2 ≤ t ≤ 2

Passo 3

Letra b) A primeira coisa que nos devemos perguntar aqui é: qual é a forma de uma reta parametrizada mesmo?

Bem, lá da álgebra vimos que se tivermos um vetor tangente V = ( A ,   B ,   C ) e o ponto P = x 0 ,   y 0 ,   z 0 onde a gente quer, a gente consegue a reta paramétrica, pela relação:

x = x 0 + A t y = y 0 + B t z = z 0 + C t

O legal é que o ponto P a gente já tem, basta substituir z = 1 lembrando que z = t

α t = 1 + t 2 ,   1 ,   t

P = α 1 = 2 ,   1 ,   1

Substituindo então o ponto P

x = 2 + A t y = 1 + B t z = 1 + C t

Agora para o vetor tangente V , vem comigo!

Passo 4

Lembra-se de que se o problema nos dá uma curva, podemos facilmente obter os vetores tangentes a ela? Basta derivar a curva, não é mesmo?

Veja só: α t = 1 + t 2 ,   1 ,   t

Derivando cada termo em relação a t

α ' t = 2 t ,   0 ,   1

Bem, como a reta é tangente à curva, o vetor tangente V que queremos é o vetor no ponto de interesse z = 1 !!!

Lembrando que z = t aqui, substituindo no vetor tangente

t = 1           ⇒             α ' 1 = 2 ,   0 ,   1

Então, substituindo esse vetor tangente, a equação paramétrica da reta tangente é

x = 2 + 2 t y = 1 + 0 t z = 1 + 1 t     ⇒

x = 2 + 2 t y = 1 z = 1 + t

Passo 5

Letra c) Para encontrar essa equação, basta isolar o t em uma equação e substituir nas outras.

Para facilitar, vamos seguir o que o exercício falou e pegar um valor para t , nesse caso o valor que ele assumiu no ponto P , ou seja, t = 1

Então

x = 2 + 2 ∙ 1 y = 1 z = 1 + 1 ⇒

x = 4 y = 1 z = 2

Multiplicando y por quatro

x = 4 4 y = 4 z = 2

Podemos igualar as duas primeiras equações

x = 4 y z = 2       ⇒

x - 4 y = 0 z = 2

Prontinho! Não tem mais nada que possamos fazer. Essas equações indicam pra gente que a reta está na intersecção desses dois planos, percebeu?

Passo 6

Letra d) Então...

∫ C   x - y - z 2 - 8 z d s

para calcular essa integral de linha, vai ser easy! Por quê?

Ué, pois já temos quase tudo pronto.

Passo 7

Para calcular essa integral de linha, vamos primeiro substituir o d s . Como? Ora:

d s = α ' ( t ) d t

A gente já tem esse α ' ( t ) : α ' t = 2 t ,   0 ,   1 , logo

α ' t = 2 t 2 + 0 2 + 1 2 →

d s = 4 t 2 + 1   d t

Passo 8

Substituindo na integral...

∫ C   x - y - z 2 - 8 z d s = ∫     x - y - z 2 - 8 z 4 t 2 + 1   d t

Como vamos integrar em t , vamos substituir C pelo limite de t ,

∫ - 2   2   x - y - z 2 - 8 z 4 t 2 + 1   d t

Além disso, trocar x , y e z pelos parâmetros, que determinamos no passo 2

∫ - 2   2   1 + t 2 - 1 - t 2 - 8 t 4 t 2 + 1   d t =

∫ - 2   2   - 8 t 4 t 2 + 1   d t

Fazendo uma substituição simples...

4 t 2 + 1 = a               ⇒               d a = 8 t   d t

Não se esquecendo dos limites

t = - 2                     ⇒                       a = 1 + 4 - 2 2 = 17  

t = 2                     ⇒                       a = 1 + 4 2 2 = 17

Epa!!!! Limites iguais? Então essa integral é z e r o !:)

∫ - 2   2   - 8 t 4 t 2 + 1   d t = 0

Resposta

Letra a)

Letra b)

x = 2 + 2 t y = 1 z = 1 + t

Letra c)

x - 4 y = 0 z = 2

Letra d)  

∫ C   x - y - z 2 - 8 z d s = 0

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