Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

calcule o que se pede

  1. t g ( a r c t g ( 3 ) .
  2. t g ( a r c t g ( − 1 ) ) .
  3. t g ( a r c t g ( − 361 ) ) .
  4. t g ( a r c t g   x ) .
  5. a r c t g ( t g ( π / 6 ) ) .
  6. a r c t g ( t g ( − 2 π / 3 ) ) .
  7. a r c t g ( t g ( 4 π / 3 ) ) .
  8. a r c t g ( t g ( 20 π / 17 ) )
  9. a r c t g ( t g   x )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de cada expressão. Para isso, vale lembrar que

a r c t g ( x ) = t g - 1 ( x )

Isso é

t g ( a r c t g ( x ) ) = x

Contudo

a r c t g ( t g ( x ) ) = x   s e

x ∈   [ - π / 2 ,   π / 2   ]

Bem vamos começar pela letra a )

t g ( a r c t g ( 3 )

Como comentamos anteriormente, temos que

t g ( a r c t g ( x ) ) = x

Logo,

t g ( a r c t g ( 3 )

= 3

letra b )

t g ( a r c t g ( − 1 ) )

Como comentamos anteriormente, temos que

t g ( a r c t g ( x ) ) = x

Logo,

t g ( a r c t g ( − 1 ) )

= - 1

letra c )

t g ( a r c t g ( − 361 ) )

Como comentamos anteriormente, temos que

t g ( a r c t g ( x ) ) = x

Logo,

t g ( a r c t g ( − 361 ) )

= - 361

letra d )

t g ( a r c t g ( x ) ) .

Como comentamos anteriormente, temos que

t g ( a r c t g ( x ) ) = x

Isso se dá pois o arco tangente é a função inversa da tangente.

Passo 2

letra e )

a r c t g ( t g ( π / 6 ) )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cuja tangente é igual a t g ( π / 6 ) ? Ora é o arco de π / 6   ( 30 ° ) . Então se

x = a r c t g ( t g ( π / 6 ) )

temos que

x = π / 6

Uma vez que a imagem da função arctg é [ - π / 2 , π / 2 ]

letra f )

a r c t g ( t g ( − 2 π / 3 ) ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cuja tangente é igual a t g ( − 2 π / 3 ) ?

Bem, temos que levar em conta que a imagem da função arctg é [ - π / 2 , π / 2 ] . E existem dois arcos tais que suas tangentes são t g ( − 2 π / 3 ) . é o arco de − 2 π / 3 e o arco de − 2 π / 3 + π = π / 3

Logo

a r c t g ( t g ( − 2 π / 3 ) ) = a r c t g ( t g ( π / 3 ) ) .

Então se

x = a r c t g ( t g ( π / 3 ) )

temos que

x = π / 3

letra g )

a r c t g ( t g ( 4 π / 3 ) ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cuja tangente é igual a t g ( 4 π / 3 ) ? Ora é o arco de 4 π / 3   ( 240 ) .

Bem, temos que levar em conta que a imagem da função arctg é [ - π / 2 , π / 2 ] . E existem dois arcos tais que suas tangentes são t g ( 4 π / 3 ) . é o arco de 4 π / 3 e o arco de 4 π / 3 - π = π / 3

Logo

a r c t g ( t g ( 4 π / 3 ) ) . = a r c t g ( t g ( π / 3 ) ) .

Então se

x = a r c t g ( t g ( π / 3 ) )

temos que

x = π / 3

letra h )

a r c t g ( t g ( 20 π / 17 ) )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cuja tangente é igual a t g ( 20 π / 17 ) ? Ora é o arco de 20 π / 17

Bem, como

t g ( 20 π / 17 ) = t g ( π + 3 π / 17 )

= t g ( π / 17 )

Temos que se

x = a r c t g ( t g ( 20 π / 17 ) )

temos que

= a r c t g ( t g ( 3 π / 17 ) )

= 3 π / 17

E por fim temos que a letra i )

a r c t g ( t g   x ) .

Como vimos das questões anteriores, o arco tangente tem sua imagem em [ - π / 2 , π / 2 ] . Então, como por definição o arco-tangente é a inversa da função tangente

a r c t g ( t g   x ) = x   s e

x ∈ [ - π / 2 , π / 2 ]

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .
Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .