Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

24. Reescreva os produtos como somas:

  1. s e n ( 2 x ) c o s ( 3 x ) ;
  2. s e n   x   s e n ( 5 x ) ;
  3. c o s ( 5 x )   c o s ( 3 x )
  4. s e n ( 4 x )   c o s   x .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

reescrever os produtos de seno e cosseno como somas.Para isso, vamos revisar as fórmulas

s e n ( x ) + s i n ( y )   =   2 s i n ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

s e n ( x ) - s i n ( y )   =   2 s i n ( x - y 2 ) c o s ( x + y 2 )

c o s ( x ) + c o s ( y )   =   2 c o s ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

c o s ( x ) - c o s ( y )   =   - 2 s i n ( x + y 2 ) s i n ( x - y 2 )

Show? Vamos começar pela letra a )

Usando

s e n ( x ) - s i n ( y )   =   2 s i n ( x - y 2 ) c o s ( x + y 2 )

obtemos

s e n ( 2 x ) c o s ( 3 x ) = 1 / 2 ( s i n ( 5 x ) - s i n ( x ) )

Passo 2

Vamos para a letra b )

s e n   x   s e n ( 5 x ) ;

usando

c o s ( x ) - c o s ( y )   =   - 2 s i n ( x + y 2 ) s i n ( x - y 2 )

obtemos que

s e n   x   s e n ( 5 x ) = - 1 / 2 ( c o s ( 6 x ) - c o s ( - 4 x ) )

como cosseno é par

= - 1 / 2 ( c o s ( 6 x ) - c o s ( 4 x ) )

Passo 3

Letra c )

c o s ( 5 x )   c o s ( 3 x )

Usando

c o s ( x ) + c o s ( y )   =   2 c o s ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

obtemos que

c o s ( 5 x )   c o s ( 3 x ) = 1 / 2 ( c o s ( 8 x ) + c o s ( 2 x ) )

Passo 4

Por último, a letra d )

s e n ( 4 x )   c o s   x .

usando

s e n ( x ) + s i n ( y )   =   2 s i n ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

obtemos que

s e n ( 4 x )   c o s   x = 1 / 2 ( s e n ( 5 x ) + s i n ( 3 x )   )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .
Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .