Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

A função f : [ - π / 2 , π / 2 ] → [ - 1,1 ] dada por f ( x ) = s e n ( x ) é bijetora (verifique através gráfico) e, portanto, possui inversa. Sua inversa f - 1 : [ - 1,1 ] → [ - π / 2 , π / 2 ] é denotada por f - 1 ( x ) = a r c s e n   ( x ) (às vezes também é denotada por f - 1 ( x ) = s e n - 1 ( x ) ). Por exemplo, a r c s e n ( - 1 ) é igual ao único número pertencente a [ - π / 2 , π / 2 ] cujo seno é igual a - 1 e, portanto, a r c s e n ( - 1 ) = - π / 2 . Como outros exemplos, temos a r c s e n ( 0 ) = 0 e a r c s e n ( 1 / 2 ) = π / 6 (compare com as equações resolvidas no exercício anterior). Calcule o que se pede

( a )   a r c s e n ( 1 )

( b )   a r c s e n ( 3 / 2 )

( c )   a r c s e n ( 2 / 2 )

( d )   a r c s e n ( - 1 / 2 )

( e )   a r c s e n ( - 2 / 2 )

( f )   a r c s e n ( - 3 / 2 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado basicamente nos descreve o que é uma função inversa, em particular discutindo o arcoseno que será útil nesta questão, e pede para calcularmos

( a )   a r c s e n ( 1 )

( b )   a r c s e n ( 3 / 2 )

( c )   a r c s e n ( 2 / 2 )

( d )   a r c s e n ( - 1 / 2 )

( e )   a r c s e n ( - 2 / 2 )

( f )   a r c s e n ( - 3 / 2 )

Para isso, vamos usar propriedades da função s e n ( x ) e alguns valores conhecidos! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

Primeiro temos a r c s e n ( 1 ) , precisamos encontrar o ângulo no qual o s e n ( x ) = 1 , o gráfico do seno é o seguinte

eu marquei ali o valor de x = π / 2 , portanto, temos que para x = π / 2 , s e n ( x ) = 1 e portanto

a r c s e n ( 1 ) = π / 2

Vamos fazer uma análise análoga para as outras alternativas!

Passo 3

Agora para a r c s e n ( 3 / 2 ) , você lembra daquela tabelinha de ângulos conhecidos para seno, cosseno e tangente, ela era tal que

note que o s e n ( π / 3 ) = 3 / 2 portanto, temos que

a r c s e n ( 3 / 2 ) = π / 3

com a tabela já podemos identificar também que

a r c s e n ( 2 / 2 ) = π / 4

Faltam mais três! Mas para esses, vamos precisar lembrar de uma propriedade da função s e n ( x ) ! Saca só!

Passo 4

Temos que a função seno é uma função com paridade ímpar, portanto, temos que

s e n ( - x ) = - s e n ( x )

Portanto, se eu considero o valor de x = - π / 6 , temos que

s e n ( - π / 6 ) = - s e n ( π / 6 ) = - 1 / 2

Portanto, se queremos a r c s e n ( - 1 / 2 ) , iremos estar procurando o ângulo - π / 6 , resumindo

a r c s e n ( - 1 / 2 ) = - π / 6

da mesma forma podemos usar a tabela junto com esta propriedade e obter que

a r c s e n ( - 2 / 2 ) = - π / 4 e a r c s e n ( - 3 / 2 ) = - π / 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   a r c s e n ( 1 ) = π / 2

( b )   a r c s e n ( 3 / 2 ) = π / 3

( c )   a r c s e n ( 2 / 2 ) = π / 4

( d )   a r c s e n ( - 1 / 2 ) = - π / 6

( e )   a r c s e n ( - 2 / 2 ) = - π / 4

( f )   a r c s e n ( - 3 / 2 ) = - π / 3

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