Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

Qual é o conjunto imagem da função f : R → R dada por

f x = 3 cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) + 1

É igual a:

  1. R
  2. - 2,4
  3. 1,4
  4. [ - 4,4 ]
  5. [ 0,1 ]

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema deu essa função aqui

f x = 3 cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) + 1

e pediu o conjunto imagem!

Mas calma! O conjunto imagem nada mais é do que os valores que essa função pode retornar, quando substituímos algum valor de x

Mas como saber que valores uma função vai retornar se podemos colocar infinitos valores de x ?

Lembrando que o cosseno é uma função LIMITADA! Ela não vale taaaantos valores assim! Sabemos o máximo e mínimo dela!

Então com isso a gente pode achar o intervalo que a função f pode retornar de imagem!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é essa aqui:

f x = 3 cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) + 1

Se tivéssemos o cosseno apenas, saberíamos que ele estaria entre

[ - 1 ; 1 ]

Mas e o cosseno ao quadrado? Bom, um valor ao quadrado não pode fornecer um número negativo! Então a parte

cos 2 ⁡ 5 x - 2

Fica sempre entre [ 0 ; 1 ] !

Passo 3

Agora podemos avaliar a função no máximo do cosseno e no mínimo, assim vamos saber o máximo e mínimo da imagem dessa função f

f x = 3 cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) + 1

Começando pelo mínimo, quando cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) = 0 :

f m í n = 3.0 + 1 = 1

Assim temos que a menor imagem é quando f = 1 . E o máximo? É quando cos 2 ⁡ ( 5 x - 2 ) = 1 :

f m á x = 3.1 + 1 = 4

Assim o intervalo da imagem dessa função f ( x ) é

I m : [ 1 ; 4 ]

E a alternativa correta é (C)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( C )

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Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
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