Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Considere três pontos não colineares A , B e C , o ponto médio do segmento A B , M , o ponto médio do segmento A C , N , e o ponto comum aos segmentos B N e C M , H .

a) Escreva C M → como combinação linear de C A → e C B → .

b) Escreva B N → como combinação linear de C A → e C B → .

c) Mostre que C H → = 2 3 C M → e B H → = 2 3 B N → .

Passo 1

a) A gente sabe, por soma de vetores, que C M → = C A → + A M → . Sabendo que M é ponto médio de A B , podemos escrever assim:

C M → = C A → + A B → 2

C M → = C A → + A C → + C B → 2

Como A C → é a mesma coisa que - C A → , temos que

C M → = C A → + - C A → 2 + C B → 2

Boa!! Já temos C M → em função de C A → e C B → , agora é só simplificar:

C M → = C A → 2 + C B → 2

Passo 2

b) O esquema aqui é bem parecido com a letra a, olha:

B N → = B C → + C N →

B N → = B C → + C A → 2

B N → = - C B → + C A → 2

Passo 3

c) Como C H → e C M → são paralelos, temos que C H → = λ C M → enquanto, analogamente, B H → = t B N →

Belezinha, agora, sabendo que C B → = C H → + H B → , substituindo:

C B → = λ C M → - t B N →

Substituindo as expressões encontradas nos itens anteriores:

C B → = λ C A → 2 + C B → 2 - t - C B → + C A → 2

C B → = C A → λ 2 - t 2 + C B → λ 2 + t

Passando C B → pro lado direito: 0 → = C A → λ 2 - t 2 + C B → λ 2 + t - C B →

C A → λ 2 - t 2 + C B → λ 2 + t - 1 = 0 →

Como C A → e C B → são L.I., seus coeficientes só podem ser 0 :

λ 2 - t 2 = 0   ( 1 )

λ 2 + t - 1 = 0   ( 2 )

De ( 1 ) temos que λ = t . Substituindo em ( 2 ) , temos

λ 2 + λ - 1 = 0

3 λ 2 = 1

λ = 2 3 = t

Logo, C H → = 2 3 C M → e B H → = 2 3 B N →

Resposta

a) C M → = C A → 2 + C B → 2

b) B N → = - C B → + C A → 2

c) Demonstração.

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