Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Prove que, se um conjunto de n vetores for L D , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.

Passo 1

PROVAR?!

Calma, pequeno gafanhoto! Vamos passinho a passinho.

Passo 2

Agora que passou o desespero, vamos começar!

Um conjunto de n vetores L D pode ser representado por:

a 1 v 1 → + a 2 v 2 → + a 3 v 3 → + … + a j v j → + a n v n → = ( 0,0 , 0 , … , 0 )

Com a 1 ,   a 2 , a 3 , … ,   a n diferentes de zero (já que os vetores são L D )

Assim, podemos isolar um dos vetores. Isolando   v j → ,

a j v j → = 0 ,   0 ,   0 ,   … ,   0 - a 1 v 1 → - a 2 v 2 → - a 3 v 3 → - … - a n v n →

a j v j → = - a 1 v 1 → - a 2 v 2 → - a 3 v 3 → - … - a n v n →

Passando o a j para o outro lado,

v j → = - a 1 a j v 1 → - a 2 a j v 2 → - a 3 a j v 3 → - … - a n a j v n →

Para ficar mais bonitinho, podemos fazer:

v j → = - a 1 a j v 1 → + - a 2 a j v 2 → + - a 3 a j v 3 → + … + - a n a j v n →

E pronto! Achamos que   v j →   é uma combinação linear dos demais vetores! UHULL

Resposta

v j → = - a 1 a j v 1 → + - a 2 a j v 2 → + - a 3 a j v 3 → + … + - a n a j v n →

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam O, A, B e C quatro pontos tais que O A → =a →+b → , e O B→ =3 a →-2 b → e O C→ =2 a →+ m b → . Sendo a → e b → vetores l.i., determine m para que os vetores A C→ e B C→ sejam l.d.. Ilustre o pro
Sejam r 1={ A+s·v ;s∈R }er 2={ B+t·w ;t∈R } duas retas:i) Prove que r 1=r 2 se, e somente se, os vetores A B → e w são múltiplos de v .ii) Prove que r 1er 2 são coplanares se, e somente se, os vetores
Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F ( - ∞ ,∞ ) dados são linearmente dependentes.d) cos ⁡ 2 x , sen 2 ⁡ x , cos 2 ⁡ x
Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F ( - ∞ ,∞ ) dados são linearmente dependentes.e) 3 - x 2 , x 2 - 6 x , 5
Use a parte ( a ) do Teorema 4.3 . 1 para provar a parte ( b ) .