Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Se 0 u 1 + 2 u 2 - 3 u 3 = 0 então, necessariamente:

(I) O conjunto u 2 ,   u 3 é linearmente dependente.

(II) u 1 não pertence ao conjunto gerado por u 2 e u 3 .

(a) I é verdadeira e II é verdadeira.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é falsa e II é falsa.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

Passo 1

(I) O conjunto u 2 ,   u 3 é linearmente dependente.

Pra um conjunto ser linearmente dependente, deve haver uma combinação linear não trivial dos vetores desse conjunto que geram o vetor nulo.

Então, se os vetores u 2 e u 3 forem LD, devem existir a e b não nulos tais que:

a u 2 + b u 3 = 0

Na equação que o problema deu pra gente:

  0 u 1 + 2 u 2 - 3 u 3 = 0

Como o 0 está multiplicando o vetor u 1 , podemos sumir com esse termo, e aí vamos ficar com:

2 u 2 - 3 u 3 = 0

Então, existe uma combinação não trivial desses dois vetores que geram o vetor nulo e o conjunto formado por eles é LD mesmo!

A afirmação é verdadeira.

Passo 2

(II) u 1 não pertence ao conjunto gerado por u 2 e u 3 .

Já essa afirmação não necessariamente é verdadeira.

A informação dada pelo enunciado, ou seja, a equação:

0 u 1 + 2 u 2 - 3 u 3 = 0

não nos diz nada sobre a forma como o vetor u 1 é gerado.

Apenas sabemos que se multiplicarmos o vetor u 2 por 2 e diminuirmos de 3 vezes o vetor u 3 obtemos o vetor nulo.

Mas nada impede que exista outra combinação dos vetores u 2 e u 3 que gere o vetor u 1 .

Então, a afirmação II é falsa.

Resposta

(d) I é verdadeira e II é falsa.

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