Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Seja { u → ,   v → } um conjunto linearmente independente e w → uma combinação linear de u → e v → .

(I) w → ,   u → e w → ,   v →   não podem ser ambos linearmente independentes.

(II) w → ,   u → e w → ,   v →   podem ser ambos linearmente dependentes.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Temos um conjunto com dois vetores u → e v → e a questão diz que esse conjunto é LI. Logo, como são apenas dois vetores, sabemos que um não é múltiplo do outro. 

Por outro lado, sabemos pelo enunciado que w → é combinação linear de u → e v → . Isso significa que existem a e b reais tais que: 

a u → + b v → =   w →

Agora vamos analisar as afirmações.

Passo 2

(I) w → ,   u → e w → ,   v →   não podem ser ambos linearmente independentes.

Essa afirmação é falsa. Reparem que podemos sim ter esses conjuntos LI. Basta que:

a u → + b v → =   w →

com:

a , b ≠ 0

Nesse caso, w → não é CL de u →   ou v → isoladamente (ou seja, não é múltiplo de u →   ou v → sozinhos), mas é sim a soma de múltiplos desses vetores. 

Passo 3

(II) w → ,   u → e w → ,   v →   podem ser ambos linearmente dependentes.

Essa afirmação é verdadeira pelo simples fato de que a afirmativa não diz que w → não pode ser o vetor nulo. Como nada é dito, podemos ter que w → = 0 , de forma que ambos os conjuntos serão LD.

Resposta

(c) I é falsa e II é verdadeira

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