Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Determinar o valor de k para que o conjunto 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,     0 ,   ( k ,   1   , - 1 ) seja L I .

Passo 1

Mais uma vez escreveremos o “sistemoso” com o vetor nulo:

0,0 , 0 = a 1,0 ,   - 1 + b 1,1 ,   0 + c ( k ,   1 ,   - 1 )

Abrindo isso:

0 = 1 a + 1 b + c k     ( I ) 0 = 1 b + 1 c     I I 0 = - 1 a + - 1 c     ( I I I )

De ( I I ) tiramos que b = - c . Substituindo em ( I I I ) :

0 = - 1 a + ( - 1 ) × ( - b )

0 = - a + b

b = a

Vamos substituir em ( I ) . Vou deixar tudo em função de b

0 = 1 b + 1 b + - b k

2 b - b k = 0

b 2 - k = 0

Com essa expressão temos duas possibilidades:

b = 0 ou 2 - k = 0

Para que o conjunto seja L I precisamos que todos os coeficientes sejam zero, ou seja a = b = c = 0 . Logo, precisamos que a primeira possibilidade ( b = 0 ) seja verdadeira.

Com isso,

2 - k ≠ 0

k ≠ 2

Uhulll! Nosso conjunto será L I desde que k ≠ 2 !

Resposta

k ≠ 2

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