Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 3 são linearmente dependentes?

(a) 4 ,   2 ,   2 ,   ( - 4 ,   10 ,   1 )

(b) - 3 ,   0 ,   4 ,   5 ,   - 1 ,   2 ,   ( 1 ,   1 ,   3 )

(c) 1 ,   2 ,   3 ,   1 ,   4 ,   5 ,   0 ,   6 ,   2 ,   ( 0 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Vamos começar pela letra (a)!

Para checar se os dois vetores 4 ,   2 ,   2 ,   - 4 ,   10 ,   1   são L D , basta vermos se,

a 4 ,   2 ,   2 + b - 4 ,   10 ,   1 = ( 0 ,   0,0 ) com a e b diferentes de zero

Então

4 a - 4 b = 0     I 2 a + 10 b = 0     I I 2 a + 1 b = 0     I I I

De I tiramos que a = b .

Substituindo em ( I I ) ,

2 a + 10 a = 0

a = 0

Logo, b = 0 e os vetores não são L D .

Passo 2

Vamos ver a letra (b) agora!

a - 3 ,   0 ,   4 + b 5 ,   - 1 ,   2 + c 1 ,   1 ,   3 = 0,0 , 0

- 3 a + 5 b + 1 c = 0     I - 1 b + 1 c = 0     I I 4 a + 2 b + 3 c = 0     I I I

De ( I I ) tiramos que c = b .

Substituindo em ( I ) , temos

- 3 a + 5 b + 1 b = 0

- 3 a + 6 b = 0

a = 2 b

Substituindo b = c e a = 2 b em ( I I I ) :

4 × 2 b + 2 b + 3 b = 0

8 b + 5 b = 0

b = 0

Como b = 0 ,   c = 0 e a = 0 e os vetores são L I !

Passo 3

Só falta a letra (c), vamos lá!!

a 1 ,   2 ,   3 + b 1 ,   4 ,   5 + c 0 ,   6 ,   2 + d 0 ,   2 ,   1 = 0,0 , 0

1 a + 1 b = 0       ( I ) 2 a + 4 b + 6 c + 2 d = 0       ( I I ) 3 a + 5 b + 2 c + 1 d = 0     ( I I I )

De I tiramos que a = - b .

Substituindo em I I ,

2 - b + 4 b + 6 c + 2 d = 0

2 b + 6 c + 2 d = 0

d = - b - 3 c

Substituindo d = - b - 3 c e a = - b em ( I I I ) :

3 - b + 5 b + 2 c + ( - b - 3 c ) = 0

2 b + 2 c - b - 3 c = 0

b - c = 0

b = c

Logo, a expressão a 1 ,   2 ,   3 + b 1 ,   4 ,   5 + c 0 ,   6 ,   2 + d 0 ,   2 ,   1 = 0,0 , 0 terá infinitas soluções! Podemos propor uma solução, se, por exemplo, a = 1 teremos b = - 1 , c = - 1 e como d = - b - 3 c ,   d = - - 1 - 3 - 1 , d = 4 e uma possível solução será:

1 1 ,   2 ,   3 - 1 1 ,   4 ,   5 - 1 0 ,   6 ,   2 + 4 0 ,   2 ,   1 = 0,0 , 0

Resposta

A letra (c) é L D .

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