Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Sabendo que  u → = ( 2 , γ ,   2 ) , v → = 2 ,   4 ,   5   ,   h → = ( 0 ,   2,3 ) , determine   γ sabendo que   u → ,   v → e   h → estão no mesmo plano.

Passo 1

O enunciado disse para gente que u → v → e   h → estão no mesmo plano, isso significa que   u → v → e   h → são L D !! Com essa informação conseguimos achar γ !

Vamos lembrar que

Um conjunto de n vetores L D pode ser representado por:

a 1 v 1 → + a 2 v 2 → + a 3 v 3 → + … + a j v j → + a n v n → = ( 0,0 , 0 , … , 0 )

Com a 1 ,   a 2 , a 3 , … ,   a n diferentes de zero (já que os vetores são L D )

Logo, no nosso exercício como os vetores são L D :

a u → + b v → + c h → = ( 0,0 , 0 ) , com a , b e c diferentes de zero

Substituindo os valores,

a 2 ,   γ ,   2 + b 2 ,   4 ,   5 + c ( 0 ,   2 ,   3 ) = 0,0 , 0

2 a + 2 b = 0     ( I ) γ a + 4 b + 2 c = 0     ( I I ) 2 a + 5 b + 3 c = 0     ( I I I )

De ( I ) temos a = - b

Substituindo em ( I I I ) ,

2 a + 5 - a + 3 c = 0

- 3 a + 3 c = 0

a = c

Substituindo a = - b e a = c em ( I I ) , temos

γ a + 4 - a + 2 a = 0

a γ - 4 + 2 = 0

a γ - 2 = 0

Agora, temos duas opções, ou a = 0 ou γ - 2 = 0 .

Se a = 0 , b = 0 e c = 0 . Mas, como nossos vetores são L D , isso não pode acontecer! Logo, só nos resta a segunda opção, γ - 2 = 0 .

γ - 2 = 0

γ = 2

Resposta

γ = 2

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