Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Consideremos no R 3 os seguintes vetores:   v 1 → = 1 ,   - 3 ,   2 e   v 2 → = 2 ,   4 ,   - 1

  1. Escrever o vetor   v → = ( - 4 ,   - 18 ,   7 ) como combinação linear de   v 1 → e   v 2 →
  2. Mostrar que o vetor   v → = ( 4 ,   3 ,   - 6 ) não é combinação linear de   v 1 → e   v 2   →

Passo 1

Letra ( a )

Bom, para escrever um vetor como combinação linear, precisamos achar quais coeficientes reais satisfazem a equação:

v → = a v 1 → + b v 2 →

- 4 ,   - 18 ,   7 = a 1 ,   - 3 ,   2 + b 2 ,   4 ,   - 1

Abrindo isso:

- 4 = 1 a + 2 b     ( I ) - 18 = - 3 a + 4 b     ( I I ) 7 = 2 a + - 1 b     ( I I I )

De ( I ) tiramos que a = - 4 - 2 b . Substituindo em ( I I I ) :

7 = 2 - 4 - 2 b - b

7 = - 8 - 4 b - b

b = - 3

Logo, a = 2

Vamos substituir em ( I I ) e ver se bate:

- 18 = - 3 × 2 + 4 × - 3

- 18 = - 18 → O K !

Então, nossa combinação linear ficará:

v → = 2 v 1 → - 3 v 2 →

Passo 2

Letra ( b )

É praticamente a mesma coisa que a letra ( a ) !

4 ,   3 ,   - 6 = a 1 , - 3 ,   2 + b 2 ,   4 ,   - 1

Abrindo isso:

4 = 1 a + 2 b     ( I ) 3 = - 3 a + 4 b     ( I I ) - 6 = 2 a + - 1 b     ( I I I )

De ( I ) tiramos que a = 4 - 2 b . Substituindo em ( I I I ) :

- 6 = 2 4 - 2 b - b

- 6 = 8 - 4 b - b

b = 14 5

Logo, a = - 8 5

Vamos substituir em ( I I ) para ver se bate:

3 = - 3 × - 8 5 + 4 × 14 5

3 = 16 → N o p s

Ops! Como os coeficientes não bateram,   v → não é combinação linear de   v 1 → e   v 2   →

Resposta

  1. v → = 2 v 1 → - 3 v 2 →

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