Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Em algum momento no futuro da Terra…

Descobre-se que um asteroide, a 120 milhões de quilômetros de distância, tem sua trajetória em rota de colisão com a Terra. A velocidade do asteroide é não-relativística e para todos os efeitos práticos pode ser desprezada. A agência espacial americana manda, em t =0, uma nave não tripulada em direção ao asteroide, com velocidade 0,4 c (medida na Terra). Considere o sistema de referência da nave ( S ’ ) tendo x ’ = x = 0 e   t ’ = t = 0 (origem de posição e tempo coincidentes para a Terra e a nave), sendo x a direção definida entre a Terra e o asteroide.

(a) De acordo ao computador de bordo da nave, já em movimento, qual é a distância que a nave deverá percorrer até chegar ao asteroide e qual será o tempo de viagem?

Passo 1

Sempre que formos resolver esse tipo de questão, precisamos ter muito bem em mente quais são os referenciais em repouso e em movimento, pois se não, nunca conseguiremos resolver questões relativísticas, com isso temos o seguinte.

S é o referencial do sistema em repouso, no nosso caso esse sistema é a própria Terra. O referencial S ' é o referencial acoplado a nave, ou seja, é o referencial em movimento com relação a Terra. No enunciado também temos que o que é pedido é a distância que a nave deverá percorrer até alcançar o asteroide, medido nesse caso, pelo computador da nave. E também é pedido quanto tempo a viagem irá demorar. Sabemos então que para resolvermos o nosso problema, podemos ir por dois caminhos. O primeiro caminho irá nos levar para a solução usando a fórmula de distância, e o segundo caminho pela fórmula de tempo. Resolvendo primeiro pela fórmula da distância teremos que lembrar que

∆ x ' = ∆ x γ

Em que

γ = 1 1 - u c 2

Substituindo na nossa equação teremos que

∆ x ' = ∆ x 1 1 - u c 2

∆ x ' = ∆ x 1 - u c 2  

Passo 2

Agora vamos voltar a entender os referenciais, sabemos que todo referencial que tem um tracinho em cima (S’) é o referencial da nave e todo que não tem (S) é o referencial da Terra. Nesse caso estamos avaliando qual a distância medida pela nave ( ∆ x ' ) com base na distância medida pela Terra ( ∆ x ). Sabendo disso precisamos tomar uma decisão, os 120 milhões de quilômetros foram medidas pela nave ou pela Terra?

Como ainda não se tinha a nave, essa distância foi medida pela Terra, logo significa que

∆ x = 120.000.000   K m = 120.000.000.000   m = 1,2   .   10 11 m

E que o que queremos descobrir é ∆ x '

Sabemos também que a velocidade da nossa nave é de

u = 0,4 c

Já temos tudo então para substituirmos na nossa fórmula, assim teremos que

∆ x ' = ∆ x 1 - u c 2

∆ x ' = 1,2   .   10 11 1 - 0,4 c c 2 = 1,10   .   10 11 m

Como queremos medir o tempo medido pela nave, basta fazermos a relação da sua velocidade com a distância medida pela própria nave

Assim teremos que

u = ∆ x ' ∆ t '

Sabemos que

∆ x ' = 1,10   .   10 11 m

u = 0,4 c

Sabemos que

c = 3   .   10 8 m s

u = ∆ x ' ∆ t '

0,4   .   3   .   10 8 = 1,10   .   10 11 ∆ t '

∆ t ' = 1,10   .   10 11 0,4   .   3   .   10 8 = 916   s

Logo teremos que a distância medida pela nave foi de

∆ x ' = 1,10   .   10 11 m

E o tempo medido por ela foi de

∆ t ' = 916   s

Mas como eu disse antes, também podemos conferir alguns valores que já calculamos através de outras fórmulas, no caso podemos conferir da seguinte maneira.

Sabemos que na Terra calculamos o tempo pela fórmula

∆ t = ∆ x u = 120.000.000.000 0,4   .     3   .   10 8 = 1,0   .   10 3 s

E sabemos que pela transformação de Lorentz teremos que

∆ t = γ   .   ∆ t '

Como queremos o tempo na nave, faremos

∆ t ' = ∆ t γ

γ = 1 1 - u c 2

Substituindo teremos que

∆ t ' = ∆ t 1 - u c 2

Substituindo teremos que

∆ t ' = 1,0   .   10 3 1 - 0,4 c c 2 = 916   s

Logo, de fato o tempo que calculamos antes está correto

Resposta

Temos que a distância medida pela nave foi de

∆ x ' = 1,10   .   10 11 m

E o tempo medido por ela foi de

∆ t ' = 916   s

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