Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma barra de comprimento próprio l 0 move-se com velocidade constante v → = v i ^ relativamente ao sistema S conforme a figura.

A extremidade A da barra passa pela origem de S no instante t = 0 . Nesse instante é emitido de A um sinal de luz que viaja de A para B .

  1. Em que instante t B ' medido num referencial em repouso em relação à barra o sinal chega a B ?
  2. Em que instante t B medido no referencial S o sinal chega a B ?

Passo 1

Letra a)

Para um referencial em repouso em relação à barra o sinal atingirá B no instante:

t B ' = l 0 c

Pois o comprimento próprio l 0 é o comprimento medido no referencial da barra.

Passo 2

Letra b)

Para acharmos o instante t B medido no referencial S usamos a contração do comprimento da barra:

l = l 0 γ

Onde:

γ = 1 1 - v 2 c 2

A distância percorrida pela nave até a luz atingir o ponto B foi

Δ x = v t B

Assim, o tempo que a luz leva para chegar ao fundo da nave é de:

t B = l - v t B c

Rearrumando:

t B = l v + c = l 0 γ v + c

Mas podemos tentar tirar esse γ da equação abrindo ele:

γ ∙ v + c = v + c 1 - v 2 c 2 = v + c c 2 c 2 - v 2 c 2 = c v + c c 2 - v 2 = c ∙ v + c 2 c - v c + v = c ∙ c + v c - v

E com isso, teremos:

t B = l 0 c ∙ c + v c - v

Ou seja

t B = l 0 c ∙ c - v c + v

Resposta

Letra a)

t B ' = l 0 c

Letra b)

t B = l 0 c ∙ c - v c + v

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