Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Um observador parado em relação a um referencial inercial mede o comprimento de um buraco no chão, em repouso em relação ao dado referencial, e obtém o valor de 10 3 m .

O observador também mede o comprimento de uma nave espacial que está em movimento retilíneo uniforme em relação ao referencial inercial, obtendo o valor de 100   m .

Qual deve ser a velocidade da nave em relação à pessoa para que a nave tenha o mesmo comprimento do buraco, do ponto de vista de um passageiro em repouso em relação à nave? Considere que os comprimentos da nave e do buraco sejam paralelos à velocidade da nave.

  1. 0,9 ⋅ c
  2. 0,99 ⋅ c
  3. 0,5 ⋅ c
  4. c / 2
  5. O comprimento do buraco é sempre maior que o comprimento da nave para os passageiros.

Passo 1

Relatividade é uma matéria que dá um baita nó na minha cabeça. Então vamos beeeeeeem devagar, dando um passinho bem pequeno de cada vez.

Vamos começar olhando o comprimento do buraco no referencial do observador e do passageiro.

O observador mede o comprimento próprio do buraco (pois eles estão em repouso um em relação ao outro, tirando o stress de medir uma nave em alta velocidade e um buraco de 1 quilômetro), logo:

l 0 ,   b u r a c o = 10 3   m

Já o passageiro mede um comprimento diferente, dado por:

l b u r a c o = l 0 . b u r a c o γ = 10 3 γ

Passo 2

Agora vejamos como fica a nave em cada referencial.

O observador mede um comprimento da nave que não é o próprio. Assim:

l n a v e = l 0 , n a v e γ

l 0 ,   n a v e γ = 10 2   m

O passageiro mede o comprimento próprio da nave. Nós não sabemos qual é o seu valor, mas da equação anterior, temos que:

l 0 , n a v e = 10 2 γ

Passo 3

Nós queremos saber a velocidade da nave em relação ao observador que vai fazer o passageiro ver o buraco com o mesmo comprimento que ele vê a nave.

No caso, isso significa que:

l 0 , n a v e = l b u r a c o

Pois no caso da nave, ele vê o comprimento próprio e no caso do buraco, não. Substituindo o que vimos antes:

10 2 γ = 10 3 γ

Rearrumando:

γ 2 = 10

1 1 - u 2 / c 2 = 10

c 2 c 2 - u 2 = 10

c 2 = 10 c 2 - 10 u 2

u 2 = 9 c 2 10

u = 0,9 ⋅ c

A resposta vai ser a letra a).

Resposta

Letra a)

u = 0,9 ⋅ c

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