Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma espaçonave de comprimento próprio L 0 move-se com velocidade v → = v i ^ com v > 0 e passa por um observador em repouso no ponto A do eixo x do sistema de coordenadas S, conforme indicado na figura. O observador registra em seu relógio um intervalo de tempo Δ t para a passagem da espaçonave por ele, isto é, o intervalo de tempo entre a passagem de B e D pelo ponto A. Calcule a velocidade v , expressando sua resposta somente em termos de c e dos parâmetros Δ t e L 0 .

Passo 1

Vamos considerar o referencial S em repouso com o observador do ponto A e outro referencial S’ que se move com a mesma velocidade v da espaçonave.

Para o observador em repouso em S, o intervalo de tempo Δ t da passagem da espaçonave entre os pontos B e D vale:

Δ t = L v

sendo:

L = L o γ = L 0 1 - v 2 c 2

devido à contração dos comprimentos e o comprimento próprio L 0 ser medido pelo observador na espaçonave.

Passo 2

Então, substituindo:

Δ t = L 0 1 - v 2 c 2 v

Como precisamos isolar o v, vamos elevar os dois lados ao quadrado:

Δ t 2 = L 0 2 1 - v 2 c 2 v 2

Δ t 2 v 2 = L 0 2 - L 0 2 v 2 c 2

Δ t 2 v 2 + L 0 2 v 2 c 2 = L 0 2

v 2 Δ t 2 + L 0 2 c 2 = L 0 2

v 2 = L 0 2 Δ t 2 + L 0 2 c 2

v = L 0 c Δ t 2 + L 0 2 c

Resposta

v = L 0 c Δ t 2 + L 0 2 c

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