Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Em relação a um observador na Terra, a pista de lançamento de uma espaçonave possui comprimento de 3600   m .

  1. Qual é o comprimento da pista medido pelo piloto de uma espaçonave que se desloca com velocidade igual a 4,0 × 10 7   m / s em relação à Terra?
  2. Uma observadora em repouso na Terra mede o intervalo de tempo desde o momento em que a espaçonave está diretamente sobre o início da pista até o instante em que a espaçonave está diretamente sobre o final da pista. Que resultado ela obtém?
  3. O piloto da espaçonave mede o intervalo de tempo desde o momento em que espaçonave passa diretamente sobre o início da pista até o instante em que ela passa diretamente sobre o final da pista. Que resultado ele obtém?

Passo 1

a) Qual é o comprimento da pista medido pelo piloto de uma espaçonave que se desloca com velocidade igual a 4,0 × 10 7   m / s em relação à Terra?

Se estamos falando de comprimento, essa é a fórmula que usaremos:

l = l 0 1 - u 2 c 2

Passo 2

O problema nos diz que medido no referencial em repouso é l 0 = 3600   m , e nos diz também que a velocidade do piloto é u = 4,0 × 10 7   m / s .

Do referencial do piloto, é a Terra que está se movendo com velocidade u . Assim, estamos interessados em saber o valor de l .

l = l 0 1 - u 2 c 2

Onde:

l 0 = 3600   m ;

u = 4,0 × 10 7   m / s ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

l = 3600 1 - 4 × 10 7 3 × 10 8 2

l = 3567,8   m

l ≅ 3,57   k m

Passo 3

b) Uma observadora em repouso na Terra mede o intervalo de tempo desde o momento em que a espaçonave está diretamente sobre o início da pista até o instante em que a espaçonave está diretamente sobre o final da pista. Que resultado ela obtém?

A observadora na Terra (referencial em repouso) vê a espaçonave se deslocando com a velocidade u , assim, o tempo Δ t 0 medido por ela é:

Δ t 0 = l 0 u

l 0 = 3600   m ;

u = 4,0 × 10 7   m / s ;

Onde l 0 é o comprimento da pista medida por ela.

Portanto:

Δ t 0 = 3600 4,0 × 10 7

Δ t 0 = 9,0 × 10 - 5 s

Passo 4

c) O piloto da espaçonave mede o intervalo de tempo desde o momento em que espaçonave passa diretamente sobre o início da pista até o instante em que ela passa diretamente sobre o final da pista. Que resultado ele obtém?

Já que conhecemos o valor do comprimento da pista medido pelo piloto l , usar simplesmente a relação:

Δ t = l u

Δ t = 3570 4,0 × 10 7

Δ t = 8,92 × 10 - 5 s

Resposta

a)

3,57   k m

b)

9,00 × 10 - 5 s

c)

8,92 × 10 - 5 s

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