Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Considere uma estrela situada à uma distância D medida por um observador em repouso na Terra. Um astronauta parte da Terra em direção à estrela com velocidade v = 0,6   c .

( a ) Sob o ponto de vista do astronauta, qual é a distância percorrida e o tempo de viagem até a estrela?

( b ) Qual é a duração da viagem Terra-estrela medida pelo observador na Terra?

( c ) Se na metade da viagem (para o observador na Terra) o astronauta emitir um sinal de luz em direção à Terra, quanto tempo depois da partida do astronauta esse sinal será observado pelo observador na Terra?

Passo 1

Letra a : Vamos entender primeiro o exercício. Inicialmente, temos um observador na Terra (referencial S ) e o astronauta viajando no foguete com velocidade v = 0,6   c (referencial S ' ). A estrela está uma distância D , medida na Terra (no referencial S ). Veja a figura abaixo.

Agora, imagine por exemplo que o observador na Terra meça um certo comprimento Δ x . Para o astronauta na nave, ele medirá um comprimento Δ x ' , diferente de Δ x (na verdade, será menor que Δ x ). A relação entre Δ x ' e Δ x é dada por

Δ x ' = 1 - v c 2 Δ x

Passo 2

Nesta parte, podemos simplesmente substituir Δ x = D (pois a distância D foi medida em S ) e usarmos que v =   0,6   c . Denotando por D ' a distância entre a Terra e a estrela medida pelo astronauta, temos que

D ' = 1 - 0,6   c c 2 D

D ' = 0,64 D

D ' = 4 D 5

Já o tempo de viagem Terra-estrela medido pelo astronauta ( Δ t t - e ' ) é obtido pela distância entre a Terra e a estrela (medida pelo astronauta) dividida pela velocidade do astronauta v , isto é,

Δ t t - e ' = D ' v = 4 D 5 × 1 0,6   c

Δ t t - e ' = 4 D 3 c

Passo 3

Letra b : Para o observador na Terra, o tempo de viagem Terra-estrela medido da Terra ( Δ t t - e ) é dado pela distância entre a Terra e a estrela (medida da Terra) dividida pela velocidade do astronauta v , isto é,

Δ t t - e = D v = D 0,6   c = 5 D 3 c

Passo 4

Letra c Nesta parte, o tempo total Δ t t o t a l   que o sinal de luz demora para chegar na Terra depois da partida é igual ao tempo que o astronauta demora para chegar na metade do caminho entre a Terra e a estrela (que chamaremos de Δ t 1 / 2 ) somado com o tempo que o sinal de luz demora para voltar até a Terra (que chamaremos de Δ t s i n a l ), ambos medidos da Terra. Desta forma, temos que

Δ t t o t a l = Δ t 1 / 2 + Δ t s i n a l

Vamos obter primeiro Δ t s i n a l . Note que, quando o sinal de luz é emitido, ele percorre metade da distância entre a Terra e a estrela, isto é, D / 2 . Deste modo, o tempo que o sinal demora para chegar a Terra, medido da Terra, é

Δ t s i n a l = D / 2 c = D 2 c .

Vamos obter agora Δ t 1 / 2 . Sabemos que o mesmo é a metade do tempo que o astronauta demora para realizar a viagem Terra-estrela, medido da Terra. Desta forma, utilizando o resultado do item ( b ) , temos que

Δ t 1 / 2 = Δ t t - e 2 = 1 2 × 5 D 3 c = 5 D 6 c

Desta forma, juntando todos os resultados, temos que

Δ t t o t a l = D 2 c + 5 D 6 C = 4 D 3 c

Resposta

  1. D ' = 4 D 5 e Δ t t - e ' = 4 D 3 c
  2. Δ t t - e = 5 D 3 c
  3. Δ t t o t a l = 4 D 3 c

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