Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma nave espacial realiza uma viagem intergaláctica entre duas estrelas que estão em repouso, para um dado referencial inercial.

Um cronômetro marca o intervalo de tempo de 15 anos para completar a viagem, enquanto um medidor de kilometragem, ambos presos e parados em relação à nave, marca o valor total de 3 anos-luz.

Considerando a velocidade da nave em relação ao referencial inercial constante, determine o valor dessa velocidade.

  1. 0,90   c
  2. 0,50   c
  3. 0,01   c
  4. 0,99   c
  5. 0,25   c
  6. 0,20   c

Passo 1

A primeira coisa importante é entender qual referencial é qual.

Como a nave tem um cronômetro preso nela, ela mede o tempo entre “passar pela estrela 1” e “passar pela estrela 2” com um mesmo relógio, e por isso ela mede o tempo próprio.

Δ t n a v e = Δ t 0

Já para a distância, ela está em movimento em relação à distância entre as estrelas. Logo, são as estrelas que medem o comprimento próprio.

l e s t r e l a s = l 0

Ok, agora podemos tentar resolver o exercício.

Passo 2

Pela dilatação do tempo, o tempo que a nave leva pra ir de uma estrela até a outra, no referencial das estrelas, é:

Δ t = γ Δ t 0

Pelo enunciado:

Δ t = γ ⋅ 15   a n o s

Já a contração do espaço dá:

l n a v e = l 0 γ

l 0 = γ l n a v e = γ ⋅ 3   a n o s - l u z

Onde l n a v e é a distância medida pela nave.

A velocidade que as estrelas enxergam a nave se movendo é então dada por:

u = l e s t r e l a s Δ t e s t r e l a s = l 0 Δ t = γ l n a v e γ Δ t 0 = 3   a n o s - l u z 15   a n o s

Ok, agora como a gente corta “anos” e “anos-luz”?

Passo 3

Vamos começar assim:

1   a n o - l u z é a distância que a luz percorre, no vácuo, em 1 ano. Assim:

1   a n o - l u z = c ⋅ 1   a n o

3   a n o s - l u z = c ⋅ 3   a n o s

Logo, temos:

u = c ⋅ 3   a n o s 15   a n o s = c 5 = 0,20   c

A letra certa é a f .

Resposta

Letra f

0,20   c

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