Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma barra de comprimento próprio L, orientada segundo um ângulo θ em relação ao eixo

x está em repouso em um sistema inercial S, conforme a figura. Considere um sistema S’

que se move com velocidade constante v   → = u . i ^   em relação a S. Nos itens abaixo expresse

suas respostas em termos de L, u , v , θ e da velocidade da luz c.

(a) Qual é o comprimento L’ da barra no sistema S’?

(b) Qual é o ângulo de orientação θ ' da barra no sistema S’?

Passo 1

No primeiro item da questão é pedido o comprimento L’ da barra. Para isso precisamos analisar o funcionamento da nossa barra no referencial S’, pelo desenho conseguimos compreender como que um referencial se move em relação ao outro.

Vamos primeiro decompor a nossa barra L e analisar cada uma das suas componentes no referencial S’

Passo 2

Primeiro faremos a decomposição no referencial S

L y L = S e n θ

L y = L . S e n θ

L x L = C o s θ

L x = L . C o s θ

Passo 3

Feito a decomposição no referencial S vamos analisa-los no referencial S’

Sabemos que

L ' = ( L y ' ) 2 + ( L x ' ) 2

Mas perceba o seguinte, no Referencial S’ não temos velocidade na direção y, logo, concluímos que nada ocorre de diferente nessa direção, então podemos afirmar que

L y = L y ' = L . S e n θ

Porém no referencial S’ temos velocidade na direção x, logo, lembrando da teoria, sabemos que ocorre uma contração da distância, dada pela fórmula

L ' = L 1 - ( v c ) ²

Dessa forma a nossa componente em x será

L x ' = L x 1 - ( u c ) ² =   L . C o s θ . 1 - ( u c ) ²

Passo 4

Sabendo quanto vale L x ' e L y ' calculamos facilmente o valor de L’

L ' = ( L y ' ) 2 + ( L x ' ) 2

L ' = ( L . S e n θ ) 2 + ( L . C o s θ . 1 - ( u c ) ² ) 2

L ' = L ² S e n ² θ + L ² . C o s ² θ . ( 1 - u c 2 )

Fazendo as devidas relações e mudanças, no fim chegamos a conclusão que L’ vale

L ' = L . 1 - C o s ² θ . u c 2

Passo 5

Agora na questão b queremos descobrir quanto vale a nosso ângulo θ ' que a barra faz com o nosso eixo x’, olhando a barra no referencial S’ teremos

Dessa forma usando a relação trigonométrica teremos

T a n   θ ' =   L ' y L ' x =   L . S e n θ L . C o s θ . 1 - ( u c ) ²

T a n   θ ' = S e n θ C o s θ . 1 - ( u c ) ²

T a n   θ ' = T a n   θ 1 - ( u c ) ²

θ ' = a r c t a n ⁡ ( T a n   θ 1 - ( u c ) ² )

Resposta

a) L ' = L . 1 - C o s ² θ . u c 2

b) θ ' = a r c t a n ⁡ ( T a n   θ 1 - ( u c ) ² )

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