Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma espaçonave de comprimento próprio L 0 move-se com velocidade v → = v i ^ em relação ao sistema inercial S . De acordo com um observador em repouso em S a espaçonave leva um intervalo de tempo igual a L 0 / c para passar pela origem O de S , conforme a figura.

  1. Calcule o módulo da velocidade da espaçonave v em termos de c
  2. Calcule o intervalo de tempo para a passagem da espaçonave pela origem O no referencial S ' da espaçonave.

Passo 1

Letra a)

Para calcularmos a velocidade da espaçonave de acordo com o referencial S , temos que usar o comprimento L e o tempo Δ t , ambos medidos por ele próprio. Assim, teremos:

v = Δ x Δ t = L L 0 / c = c ⋅ L L 0

Onde L 0 , sendo o comprimento próprio da barra, é medido pelo referencial onde ela está em repouso S ' .

Pelo fenômeno da contração do comprimento, temos:

L = L 0 γ →   L L 0 = 1 γ

Substituindo:

v = c γ → v c = 1 γ

Sendo que o fator de Lorentz γ é definido como:

γ = 1 1 - v 2 c 2

Teremos:

v c = 1 - v 2 c 2

v 2 c 2 = 1 - v 2 c 2

v 2 c 2 = 1 2

v = c 2   = c 2 2

Passo 2

Letra b)

No referencial da barra S ' , para medir o tempo que o ponto O do observador em S demora para passar por toda a barra, é necessário um relógio nas duas extremidades dela.

Já no referencial S , basta um relógio na origem O (os dois eventos ocorrem no mesmo ponto).

Isso significa que é o referencial S que mede o tempo próprio. Assim, pela dilatação do tempo, temos:

Δ t ' = γ Δ t

No passo anterior, encontramos que:

v c = 1 γ

v c = 1 2  

Vamos encontrar a alma gêmea do γ :

1 γ = 1 2

γ = 2

Assim, temos então que:

Δ t ' = 2   Δ t

Δ t ' = 2 ⋅ L 0 c

Resposta

Letra a

v = c 2   = c 2 2

Letra b

Δ t ' = 2 ⋅ L 0 c

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