Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma nave espacial com comprimento próprio de 600   m ao longo do eixo x passa por uma estação transmissora com velocidade de 4 5 c   x ^ . No instante em que a frente da nave passa pelo transmissor, dois relógios, um na frente da nave e outro no transmissor são sincronizados para t = t ´ = 0   . No momento em que a parte de trás da nave passa pelo transmissor, um sinal luminoso é enviado pelo transmissor e, logo depois, detectado na frente da nave.

  1. No instante em que o sinal luminoso foi enviado, qual a marcação do relógio a bordo da nave?
  2. No instante em que o sinal luminoso alcançou a frente da nave, qual a marcação do relógio a bordo da nave?
  3. No instante em que o sinal luminoso alcançou a frente da nave, qual a marcação do relógio na estação transmissora?

Passo 1

a) Aqui, podemos analisar o problema tanto a partir do referencial colocado fixo na nave quanto a partir do referencial colocado transmissor e devemos, em ambos os casos, obter as mesmas respostas. Vamos resolver o problema analisando as situações a partir do referencial fixo na nave.

Com relação a esse referencial, a estação transmissora viaja com uma velocidade - 4 c 5   x ^ . Logo, o instante de tempo marcado pelo relógio a bordo da nave quando a estação passa pela traseira da nave e envia o sinal, vale

t N 1 = 600 4 c 5 = 2,5 × 10 - 6   s .

Esse é o tempo que decorreu até que o sinal luminoso fosse enviado da estação transmissora.

Passo 2

b) Agora, do ponto de vista da nave, o tempo que a luz gasta para percorrer os 600   m de sua extensão é igual a

t N 2 = 600 c = 2 × 10 - 6   s .

Um observador dentro da nave vai marcar um tempo que é igual à soma desses dois tempos: o tempo que passa até que a estação emita o sinal, que é t N 1 , mais o tempo t N 2 que esse sinal gasta para ir do ponto onde foi emitido e até a parte da frente da nave.

Por isso, o tempo total será

Δ t N = t N 1 + t N 2 = 4,5 × 10 - 6   s   .

Passo 3

c) Como estamos olhando para o problema a partir do referencial inercial que está fixo na nave, então o intervalo de tempo medido pela estação é maior, já que ela se movendo com velocidade - 4 c 5 x ^ em relação à nave.

Então, a estação mede um intervalo Δ t E > Δ t N que é dado por

Δ t E = 1 1 - v 2 c 2   Δ t N = 5 3 × 4,5 × 10 - 6   s = 7,5 × 10 - 6   s   .

Resposta

  1. t N 1 = 2,5 × 10 - 6   s   ;
  2. Δ t N = 4,5 × 10 - 6   s   ;
  3. Δ t E = 1 1 - v 2 c 2   Δ t N = 7,5 × 10 - 6   s   .

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