Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Uma régua de comprimento de 2m está em repouso e posicionada tal que faz um ângulo de 45◦ com o eixo x do referencial inercial S. O referencial inercial S’ se move com velocidade 2 . c 2 i ^   em relação ao referencial S. Determine o comprimento da régua medido pelo referencial S’.

(a) 3 m .

(b)   2 m .

(c) 2m.

(d) 3m.

(e) 2 2 m .

(f) 2 3 m .

Passo 1

Nesse item da questão é pedido o comprimento L’ da barra. Para isso precisamos analisar o funcionamento da nossa barra no referencial S’, pelo desenho conseguimos compreender como que um referencial se move em relação ao outro.

Vamos primeiro decompor a nossa barra L e analisar cada uma das suas componentes no referencial S’

Passo 2

Primeiro faremos a decomposição no referencial S

L y L = S e n θ

L y = L . S e n θ

L x L = C o s θ

L x = L . C o s θ

Passo 3

Feito a decomposição no referencial S vamos analisa-los no referencial S’

Sabemos que

L ' = ( L y ' ) 2 + ( L x ' ) 2

Mas perceba o seguinte, no Referencial S’ não temos velocidade na direção y, logo, concluímos que nada ocorre de diferente nessa direção, então podemos afirmar que

L y = L y ' = L . S e n θ

Porém no referencial S’ temos velocidade na direção x, logo, lembrando da teoria, sabemos que ocorre uma contração da distância, dada pela fórmula

L ' = L 1 - ( v c ) ²

Dessa forma a nossa componente em x será

L x ' = L x 1 - ( u c ) ² =   L . C o s θ . 1 - ( u c ) ²

Passo 4

Sabendo quanto vale L x ' e L y ' calculamos facilmente o valor de L’

L ' = ( L y ' ) 2 + ( L x ' ) 2

L ' = ( L . S e n θ ) 2 + ( L . C o s θ . 1 - ( u c ) ² ) 2

L ' = L ² S e n ² θ + L ² . C o s ² θ . ( 1 - u c 2 )

Fazendo as devidas relações e mudanças, no fim chegamos a conclusão que L’ vale

L ' = L . 1 - C o s ² θ . u c 2

Passo 5

No nosso exercício é dito que

L = 2 m

θ = 45 °

u = 2 . c 2

Substituindo, teremos que

L ' = 2 . 1 - C o s ² 45 ° . 2 . c 2 c 2

L ' = 2 . 1 - 2 2 2 . 2 2 2

L ' = 2 . 1 - 2 4 . 2 4

L ' = 2 . 1 - 1 4

L ' = 2 . 3 4

L ' = 3 m

Resposta

(a) 3 m

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