Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

Considere a reta r de equação vetorial

r : X = 1,3 , 1 + λ 0,1 , 1 ,   λ ∈ R

E a reta s de equação simétrica:

s : x - 1 3 = y - 2 4 = z - 1 2

A distância entre as retas r e s é igual a

a) 3 22

b) 1 5

c) 7 174

d) 5 78

e) 1 30

Passo 1

Faaala pessoal, vamos lá pra mais uma?

Nessa questão, vamos falar sobre distância entre retas. Ele deu as equações da reta r e da reta s e aí vamos ter que encontrar a distância entre elas, demorou?

A primeira coisa que fazemos antes de calcular a distância entre retas é ver se elas são paralelas ou reversas. Para isso, é só vermos se o vetor diretor de r é múltiplo do vetor diretor de s . Se for múltiplo, as retas são paralelas.

E aí vemos qual das técnicas que vimos iremos usar para calcular a distância :P

Então vamos lá ver se as retas são paralelas ou reversas

Passo 2

Vamos começar encontrando os vetores diretores de r e s

A equação de r foi dada assim:

r : X = 1,3 , 1 + λ 0,1 , 1 ,   λ ∈ R

Nesse formato de equação, temos o ponto + um parâmetro λ multiplicando o vetor diretor. Então sabemos que a reta r tem vetor diretor u = 0,1 , 1

A equação de s é dada assim

s : x - 1 3 = y - 2 4 = z - 1 2

Nas equações simétricas, os valores do denominador formam as coordenadas do vetor diretor. Então, o vetor diretor de s é v = 3,4 , 2

E olha só galera, não existe um α tal que

0,1 , 1 = α . 3,4 , 2

Então, os vetores não são múltiplos. Logo, os vetores não são paralelos. As retas são reversas ok?

Passo 3

Como as retas são reversas, vamos calcular a distância entre elas usando essa fórmula:

d r , s = u , v , P 1 P 2 | u × v |

Onde P 1 P 2 é o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s . Além disso, u , v , P 1 P 2 é o produto misto entre esses 3 vetores.

Então vamos encontrar P 1 P 2 . Pela equação de r , sabemos que ela passa pelo ponto P 1 = 1,3 , 1 , e pela equação de s , ela passa pelo ponto P 2 = ( 1,2 , 1 )

Então:

P 1 P 2 = P 2 - P 1 = 0 , - 1,0

Showw, então agora vamos lá encontrar as informações para calcularmos a distância

Passo 4

O produto misto u , v , P 1 P 2 é dado por esse determinante:

u , v , P 1 P 2 = 0 1 1 3 4 2 0 - 1 0

Calculando o determinante:

u , v , P 1 P 2 = 0 1 1 3 4 2 0 - 1 0 0 1 3 4 0 - 1 = - 3

Então u , v , P 1 P 2 = 3

Passo 5

O produto vetorial u × v é calculado assim:

u × v = i ^ j ^ k ^ 0 1 1 3 4 2

Calculando o determinante:

u × v = i ^ j ^ k ^ 0 1 1 3 4 2 i ^ j ^ 0 1 3 4 = 2 i ^ + 3 j ^ - 3 k ^ - 4 i ^

Então:

u × v = - 2 i ^ + 3 j ^ - 3 k ^ = - 2,3 , - 3

Showw, esse é o produto vetorial! Agora vamos encontrar o módulo desse vetor, que é quem queremos:

u × v = - 2 2 + 3 2 + - 3 2 = 22

Ebaa, então agora já temos as informações pra substituir na fórmula da distância

Passo 6

A distância entre as retas vai ser

d r , s = u , v , P 1 P 2 | u × v |

Substituindo os valores que encontramos nos passos 4 e 5:

d r , s = 3 22

Show! Então a alternativa correta é a letra A 😊

Resposta

a) 3 22

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )