Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Determine a distância entre as retas abaixo:

b) r : 2 x - y = 4 ,                 s : 3 x + 2 y = - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma reta r e uma reta s e pediu pra gente determinar a distância entre elas. Como as duas não tem componente na direção z , nós podemos dizer que elas pertencem ao R 2 e, portanto, estão no mesmo plano, certo?

Mas será que elas são paralelas ou concorrentes? Nós sabemos que duas retas são paralelas, se poderem ser escritas na forma r → = α s → , ou seja, se forem proporcionais. Se r → ≠ α s → , dizemos que as retas são concorrentes. Onde r → e s → são os vetores diretores da reta.

Como as nossas equações da reta estão na forma geral:

r : 2 x - y = 4

  s : 3 x + 2 y = - 2

O que nós vamos fazer escolher dois pontos aleatórios para r e s , encontrar seus vetores diretores e, a partir daí, verificar se as retas são paralelas ou concorrentes e a distância entre elas.

Escrevendo as nossas equações no formato vetorial, fica mais fácil enxergar esses vetores diretores:

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escolhendo um ponto aleatório para r , fazendo x = 1 :

2 ( 1 ) - y = 4

E isolando y :

y = - 2

Em seguida, vamos fazer x = 2 e consequentemente:

2 ( 2 ) - y = 4

→ y = 0

Assim, temos os pontos A ( 1 ,   - 2 ) e B 2 ,   0 na reta r .

De mesma forma, vamos chamar x = 1 na reta s :

3 ( 1 ) + 2 y = - 2

→ y = - 5 2

Fazendo agora x = 2 :

3 ( 2 ) + 2 y = - 2

→ y = - 4

E temos os pontos C 1 ,   - 5 2 e D ( 2 ,   - 4 ) na reta s .

Passo 3

Para encontrar seus vetores diretores, vamos usar os pontos que encontramos no passo anterior. Fazendo:

A B → = B - A = 2 ,   0 - 1 - 2 = ( 1 ,   2 )

E

C D → = D - C = 2 ,   - 4 - 1 ,   - 5 2 = 1 ,   - 3 2

Assim, temos o vetor diretor r → = ( 1 ,   2 ) e o vetor diretor s → = 1 ,   - 3 2 .

Agora precisamos testar se eles são paralelos ou concorrentes, usando a equação:

r → = α s →

Temos:

1 ,   2 = α 1 ,   - 3 2

Se abrirmos isso, ficamos com:

1 = α 2 = - 3 2 α

Como os valores de α não batem, nossas retas só podem ser concorrentes. E quando as retas são concorrentes, a distância entre elas é zero. O que faz sentido, já que as retas se cruzam, olha só:

É isso aí, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

d = 0

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
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