Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Considere as retas s 1 e s 2 de R 2 dadas pelas equações y = - 3 4 x + 1 e y = - 3 4 x + 6   respectivamente. Considere uma circunferência C   de centro C = ( c , c ) e raio r inscrita entre as duas retas como na figura abaixo.

  1. Determine todos os pontos que equidistam das retas s 1 e s 2 .
  2. Determine o valor de C
  3. Determine a equação da reta s 3 que passa por C   e é ortogonal às retas s 1 e s 2
  4. Determine o valor do raio r  
  5. Assuma que o segumento de reta A B → é a projeção ortogonal de C   em s 1 e determine as coordenadas de A   e de B .

Passo 1

  1. Determine todos os pontos que equidistam das retas s 1 e s 2 .

Esses pontos vão ser pertencentes a uma terceira reta, paralela as duas, que corta o meio da circunferência.

Os coeficientes das variáveis da equação vão ser iguais aos das outras retas, já que o vetor normal de retas paralelas é sempre o mesmo. Assim, meu conjunto de pontos tem essa cara:

y + 3 4 x = a

Agora precisamos de um ponto para achar a . Podemos achar um ponto de uma reta e um ponto da outra e calcular o meio desses pontos. Como deve ser equidistante, obrigatoriamente esse ponto deve estar na reta que buscamos!

P 1 ∈ s 1 = 0,1 e P 2 ∈ s 2 = ( 0,6 )

O meio desses pontos pode ser achado fazendo:

P 1 + P 2 2 = ( 0,7 ) 2 ⟹ 0 , 7 2

Substituindo na equação, temos que:

y + 3 4 x = 7 2

Passo 2

b)

Vamos, agora, achar o ponto C .   Sabemos que ele está na reta que achamos na letra a) e que tem as coordenadas iguais como nos disseram no enunciado, C = ( c , c ) .

Então, temos y + 3 4 x = 7 2 com x = y = c :

c + 3 4 c = 7 2

c = 2

Passo 3

c)

A reta que queremos é essa daqui:

O vetor diretor dessa reta é o vetor normal das retas s 1 e s 2 que já conhecemos: n = 3 4 , 1 .

Além disso, temos que essa reta passa pelo ponto C = 2,2 . Com um vetor diretor e um ponto, conseguimos achar a equação paramétrica:

s 3 = 2,2 + t 3 4 , 1 | t ∈ R

Agora é só tranformar isso em equação cartesiana:

x , y = ( 2 + 3 4 t , 2 + t )

x = 2 + 3 4 t ⟹ x = 2 + 3 4 ( y - 2 ) y = 2 + t ⟹ t = y - 2

Temos então que:

y = 4 x - 2 3

Passo 4

d)

Conseguimos ver que o raio ta na reta que achamos na letra c)

Podemos achar o ponto P 3 o ponto em que a reta perpendicular achada em c) cruza a reta s 1 e calcular a sua distância até a o ponto C :

Como o ponto P 3 pertence à duas retas posso igualar as equações para achar suas coordenadas:

4 x - 2 3 = - 3 4 + 1

x = 4 5

y = 4 x - 2 3 = 2 5

Então P 3 = 4 5 , 2 5 e C = 2,2 :

P 3 - C = 4 5 , 2 5 - 2,2 = - 6 5 , - 8 5

O raio sera o módulo desse vetor:

r = - 6 5 2 + - 8 5 2 = 100 25 = 2

Passo 5

e)

Vou chamar de A o ponto na reta s 1 que cruza com a paralela mais a esquerda da reta s 3 e de B   o ponto da reta s 1 que cruza com a paralela mais a direita da reta s 3 .

Bom, já temos o P 3 , o C e o C P 3 → = - 6 5 , - 8 5 . Assim, conseguimos calcular A P 3 → e B P 3 → , utilizando, simplesmente no fato que eles são ortogonais! Trocando as coordenadas de lugar e mudando o sinal de uma delas:

A P 3 → = 8 5 , - 6 5 e B P 3 → = - 8 5 , 6 5

Repare que eu escolhi o sinal olhando para a imagem e vendo o que fazia sentido, por exemplo, como A P 3 → está apontando para baixo, sua coordenada y   deve ser negativa!

Assim conseguimos encontrar os pontos pedidos usando o fato de que um vetor é o ponto da extremidade menos o ponto da origem:

A = P 3 - A P 3 → = 4 5 - 8 5 , 2 5 + 6 5 = - 4 5 , 8 5

B = P 3 - B P 3 → = 4 5 + 8 5 , 2 5 - 6 5 = 12 5 , - 4 5

Resposta

a) y + 3 4 x = 7 2

b) c = 2,2

c)   y = 4 x - 2 3

d) r = 2

e)   A = - 4 5 , 8 5 e B = 12 5 , - 4 5

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )