Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Sejam r e s retas distintas em E 3 . Considere as seguintes afirmações:

( I ) A distância entre r e s será igual a zero, se e somente se, r e s forem concorrentes;

( I I ) se r e s forem paralelas, então para qualquer ponto P ∈ r , valerá que a distância entre P e s será igual à distância entre r e s ;

( I I I ) se r e s forem reversas, então para qualquer ponto P ∈ r , valerá que a distância entre P e s será igual à distância entre r e s .

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

c) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho?

Nessa questão precisamos avaliar 3 afirmações acerca da distância entre ponto e reta, e entre reta e reta. Algo muito importante é que o enunciado fala que r e s são distintas.

Na afirmação ( I ) é dito que a distância entre r e s é nula se, e somente se, r e s forem concorrentes.

Nesse caso, temos uma condição de “se, e somente se”. Isso significa que precisamos provar tanto a ida como a volta:

- ida Se r e s forem concorrentes, a distância entre r   e s é nula

De fato, sendo r e s concorrentes, elas possuem um ponto em comum. Como a distância entre duas retas é dada pela menor distância possível entre dois pontos da reta, esse ponto será justamente o ponto em comum e a distância é nula.

- Volta : Se a distância entre r e s for nula, r e s são concorrentes.

Realmente, para que a distância entre duas retas seja nula só existem duas possibilidades. Ou elas são coincidentes, ou são concorrentes. O enunciado fala que r e s são distintas, portanto, elas precisam ser concorrentes.

Prontinho! A afirmação ( I ) é verdadeira.

Passo 2

A afirmação ( I I ) basicamente diz que se r e s são paralelas, a distância entre as retas é dada pela distância entre qualquer ponto P de r até a reta s .

Para avaliar essa afirmação, podemos lembrar que a distância entre um ponto e uma reta é dada pela distância entre um ponto fora da reta e a sua projeção. Assim:

d P , s = d P , Q

Onde Q = p r o j s P .

Mas, como r e s são paralelas, a distância entre elas é dada justamente por um ponto pertencente a uma das retas e a sua projeção na outra reta. Assim:

d r , s = d P , Q  

Logo, concluímos que:

d P , s = d ( P , Q )

E, a afirmação ( I I ) também é verdadeira.

Passo 3

A afirmação ( I I I ) afirma que se r e s são reversas, a distância entre r e s é dada pela distância de qualquer ponto P ∈ r até s .

Nesse caso, podemos tentar visualizar um exemplo pra avaliar se a afirmação é verdadeira.

Na imagem acima temos r e s reversas. P ∈ r .

Porém, a distância entre P e s é dada pela distância entre P e sua projeção na reta s . Mas, a distância entre r e s é dada exclusivamente pelo par de pontos que são a projeção de s em r e de r em s .

Assim, na imagem ficou nítido que a distância entre P e s não é a menor distância possível entre dois pontos de r e s . Portanto, a afirmação ( I I I ) é falsa.

Logo, a resposta é a letra c).

É isso gente, obrigado pela atenção.

Resposta

Letra c).

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