Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Determine a distância entre as retas abaixo:

a) r : x = 1 - t y = 2 + 4 t ,                 s : x = 1 2 t y = 3 5 - 2 t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma reta r e uma reta s e pediu pra gente determinar a distância entre elas. Como as duas não tem componente na direção z , nós podemos dizer que elas pertencem ao R 2 e, portanto, estão no mesmo plano, certo?

Mas será que elas paralelas ou concorrentes? Nós sabemos que duas retas são paralelas, se poderem ser escritas na forma r → = α s → , ou seja, se forem proporcionais. Onde r → e s → são os vetores diretores da reta. Escrevendo as nossas equações no formato vetorial, fica mais fácil enxergar esses vetores diretores:

r : x , y = 1 ,   2 + t ( - 1 ,   4 )

s : x ,   y = 0 , 3 5 + t 1 2 , - 2

Onde ( - 1 ,   4 ) é o vetor diretor da reta r e 1 2 , - 2 é o vetor diretor da reta s . Verificando se elas paralelas, podemos fazer:

r → = α s →

- 1 ,   4 = α 1 2 ,   - 2

Logo,

1 2 α = - 1 → α = - 2

- 2 α = 4 → α = - 2

Como os valores de α são iguais, podemos dizer que elas são paralelas. Nesse caso, pra calcular a distância entre as duas retas, vamos seguir o passo a passo:

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escolhendo o ponto P = 0 , 3 5 que pertence a reta s . Agora precisamos encontrar o ponto Q que pertence a reta r :

Q = ( 1 - t ,   2 + 4 t )

Então, calculamos o vetor P Q → que deve ser ortogonal a uma das retas, pode ser r → ou s → , tanto faz, pois, seus vetores diretores são proporcionais, já que elas são paralelas.

Temos:

P Q → = Q - P = 1 - t ,   2 + 4 t - 0 , 3 5

P Q → = 1 - t , 7 5 + 4 t

Passo 3

Sabendo que P Q → deve ser ortogonal a uma das retas, então escolhemos r → = ( - 1,4 ) e calculamos:

P Q → ∙ r → = 0

1 - t , 7 5 + 4 t ∙ - 1,4 = 0

Fazendo o produto escalar:

- 1 + t + 28 5 + 16 t = 0

17 t + 23 5 = 0

t = - 23 85

Sabendo o valor de t , descobrimos Q :

Q = ( 1 - t ,   2 + 4 t )

Q = 1 - - 23 85 ,   2 + 4 - 23 85

Q = 108 85 ,   78,85

Agora é só calcular a distância entre P e Q :

d P ,   Q = 0 - 108 85 2 + 3 5 - 78 85 2

d P ,   Q = 11664 7225 + 729 7225 = 12393 7225

Simplificando, temos:

d P ,   Q = 27 17 85

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

d P ,   Q = 27 17 85

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
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