Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

Ver Teoria

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r : x = y = z - 2 e s : y = x + 1 z = x - 3

Passo 1

Primeiro vamos organizar essas retas!

Da reta r conseguimos ver que  r → = ( 1 ,   1,1 ), já que esses são os denominadores da minha equação (se você não lembra muito bem disso, dá uma olhada em “Introdução à Reta”, nas equações simétricas 😊).

Vamos passar a equação da reta s para forma simétrica para ficar mais fácil visualizar:

Da primeira equação (a de y ), tiramos que:

x = y - 1

Da segunda equação (a de z ), temos:

x = z + 3

Igualando obtemos:

x = y - 1 = z + 3

Com isso obtemos o vetor diretor   s → = 1 ,   1 ,   1 .

Como   r → = s → , nossas retas são paralelas!

Passo 2

O exercício de retas paralelas está tão lá atrás que você nem deve lembrar mais como faz!

Zero problemas, a gente relembra junto!

Primeiro a gente escolhe um ponto P de uma das retas. Vou escolher o ponto P = 1 ,   1 ,   3 da

reta r .

Depois escrevemos o ponto Q da reta s genericamente. Para isso, faremos:

s : x = y - 1 = z + 3 = t

x = t

y = t + 1

z = t - 3

Logo, Q = ( t ,   t + 1 ,   t - 3 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P Q →

P Q → = t ,   t + 1 , t - 3 - 1 ,   1 ,   3

P Q → = ( t - 1 ,   t ,   t - 6 )

Passo 3

Lá na teoria vimos que   P Q → é ortogonal aos vetores diretores das nossas “retosas”. Então o produto interno entre eles precisa dar zero!! Vou escolher fazer o produto interno com s → , mas com r → também funciona!

P Q → ∙ s → = t - 1 ,   t ,   t - 6 ∙ 1 ,   1,1 = 0

t - 1 + t + t - 6 = 0

t = 7 3

Assim, conseguimos achar o ponto Q

Q = t ,   t + 1 ,   t - 3 = 7 3 , 10 3 ,   - 2 3

Passo 4

Por fim, é só calcular d ( P , Q ) !

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

d P , Q = 7 3 - 1 2 + 10 3 - 1 2 + - 2 3 - 3 2 = 186 3 u . c

E FIMMMMM 😊

Resposta

D r ,   s = 186 3 u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )