Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Em E 3 sejam r a reta que contém o ponto A = ( 0,1 , - 2 ) e que é perpendicular ao plano π : x - y = 0 , e s a reta que contém o B = ( 2,1 , 0 ) e de direção ( 1,1 , 1 ) . A distância entre r e s vale:

a ) 3 3

b ) 3 2

c ) 6 2

d ) 6 3

e )   0

Passo 1

Falaa, blz? Para começar essa questão vamos lembrar o seguinte conceito:

Seja π : a x + b y + c z = d um plano, temos que v → = ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano.

Agora note que o enunciado nos diz que a reta r é perpendicular ao plano π , que possui o vetor 1 , - 1,0 normal a ele. Ou seja, o vetor ( 1 , - 1,0 ) é paralelo a reta r. Com isso, podemos escrever a reta r da forma parametrizada:

r :     x = t y = 1 - t z = - 2

Além disso, podemos escrever a reta s da forma:

s :   x = 2 + t y = 1 + t z = t

Passo 2

Agora, perceba um detalhe, temos que o vetor diretor de r é ( 1 , - 1,0 ) e o vetor diretor de s é ( 1,1 , 1 ) , se fizermos o produto escalar entre os 2 dará zero   1 1 + - 1 1 + 0 1 = 0 , ou seja, os vetores são perpendiculares entre si.

Se os dois vetores diretores das retas são perpendiculares, podemos dizer que as retas são perpendiculares, e portanto, a distância é zero

Resposta

Letra E

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )