Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Sejam r 1 : x ,   y ,   z = ( 1 + 2 t ,   t ,   2 + 3 t ) e r 2 : x ,   y ,   z = ( t ,   1 + m t ,   - 1 + 2 m t ) duas retas.

b) Para o valor de m encontrado determine a posição relativa entre r 1 e r 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

No item a, nós encontramos o valor de m = 2 3 para as duas retas que o enunciado nos deu, admitindo que elas sejam coplanares. Mas duas retas podem estar no mesmo plano e serem paralelas distintas, paralelas coincidentes ou concorrentes, certo? Qual dessas três posições relativas estão as retas r 1 e r 2 ? É isso que nós vamos determinar agora.

Nós vimos que para duas retas serem paralelas, elas precisam ser escritas na forma r 1 → = α r 2 → , ou seja, serem proporcionais. Para verificar se são distintas ou iguais basta testar se o ponto A de r 1 pertence a r 2 também. Se pertencer as duas, serão iguais, se não, distintas.

E elas serão concorrentes se r 1 → ≠ α r 2 → .

Então, vamos testas essas condições e verificar a posição relativa entre r 1 e r 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações no formato vetorial:

r 1 : x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   2 + t ( 2 ,   1 ,   3 )

r 2 : x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   - 1 + t ( 1 ,   m ,   2 m )

Então, nossos vetores diretores são r 1 → = ( 2 ,   1 ,   3 ) e r 2 → = ( 1 ,   m ,   2 m ) . Como m = 2 3 , temos:

r 1 → = 2 ,   1 ,   3

r 2 → = 1 , 2 3 , 4 3

Vamos, enfim, verificar r 1 → = α r 2 → :

2 ,   1 ,   3 = α 1 , 2 3 , 4 3

Se abrirmos, ficamos com:

2 = α 1 = 2 3 α → α = 3 2 3 = 4 3 α → α = 9 4

Como os valores de α não batem, nossas retas só podem ser concorrentes.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

A s   r e t a s   s ã o   c o n c o r r e n t e s

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )