Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Dadas as retas r : X = 1 ,   0 ,   - 1 + λ ( 2 ,   4 ,   - 4 ) e s : x - 1 = y - 3 = - z .

a) Estude a posição relativa entre r e s .

b) Calcule a distância entre r e s .

Passo 1

a) O vetor diretor da reta r é v → = ( 2 ,   4 ,   - 4 ) e o da reta s é u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) . Esses vetores não são paralelos pois não são múltiplos um do outro, então já descartamos a possibilidade de as retas serem paralelas.

Vamos testar o produto interno:

2 ,   4 ,   - 4 . 1 ,   1 ,   - 1 = 2 + 4 + 4 = 10 ≠ 0

Como o produto interno não deu 0, as retas também não são perpendiculares.

Passo 2

Sejam o ponto A = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) da reta r e o ponto B = ( 1 ,   3 ,   0 ) da reta s , temos o vetor A B → = B - A = ( 0 ,   3 ,   1 ) .

Vamos testar se os vetores u → , v → e A B → são coplanares fazendo o produto misto deles:

[ u → ,   v → ,   A B → ] = 1 2 - 2 0 1 - 1 0 3 1 = 4 ≠ 0

Como o determinante deu ≠ 0 , também não são coplanares.

Logo, as retas são reversas :)

Passo 3

b) Como r e s são reversas, a distância entre elas vai ser

d r ,   s = u → ,   v → ,   A B → | v → ∧ u → |

d r ,   s = 4 | ( 0 ,   - 1 ,   - 1 ) |

d r ,   s = 4 2 = 2 2

Resposta

a) Reversas.

b) d r ,   s = 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )