Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Considere as retas

r :   4 x - 3 y = 0 8 x - 6 y + z = 0 e s : X = 1 ,   0 ,   4 + λ ( 1 ,   - 2 ,   0 ) .

Determine os pontos pertencentes à reta s que distam 6 da reta r .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos resolver esse sisteminha de r pra acharmos a equação vetorial da reta. Isolando x na equação de cima, temos

x = 3 y 4

E isolando z na equação de baixo, temos

z = - 8 x + 6 y = - 8 . 3 y 4 + 6 y = 0

Então temos

X = x ,   y ,   z = 3 y 4 ,   y ,   0 = y 3 4 ,   1 ,   0

Logo, trocando o parâmetro y por t , temos que a equação de r é

X = 0 ,   0 ,   0 + t 3 4 , 1 ,   0

Passo 2

Beleza, agora precisamos de um ponto R genérico da reta r e um ponto genérico S da reta s .

Pela equação da reta r , sabemos que um ponto que pertence a ela é R = 3 t 4 ,   t ,   0 .

Um ponto genérico da reta s , de acordo com sua equação, é S = ( 1 + λ ,   - 2 λ ,   4 ) (esse é o ponto que deve distar 6 da reta r (no ponto R ) e é ele que vamos encontrar).

Logo, nosso vetor R S → vai ser S - R = 1 + λ - 3 t 4 ,   - 2 λ + t ,   4 .

Passo 3

Como estamos falando da distância entre duas retas, o vetor R S → , que liga um ponto de r a um ponto de s , deve ser perpendicular à reta r .

Tomando que R S → deve ser perpendicular ao vetor diretor de r : r → = 3 4 ,   1 ,   0 , vamos fazer o produto escalar:

R S → . s → = 1 + λ - 3 t 4 ,   - 2 λ + t ,   4 . 3 4 ,   1 ,   0 = 0

3 4 + 3 λ 4 - 9 t 16 - 2 λ + t = 0

t = 20 λ - 12 7   ( I )

Puts, temos uma equação e duas incógnitas :/ vamos guardar essa igualdade que vamos precisar dela depois!!

Passo 4

Outra informação que temos, é que a distância entre o ponto S e o ponto R deve ser 6!! Usando a fórmula da distância entre pontos:

d R ,   S = 1 + λ - 3 t 4 2 + - 2 λ + t 2 + 4 2 = 6

1 + λ - 3 t 4 2 + - 2 λ + t 2 + 16 = 36

1 + λ - 3 t 4 2 + t 2 - 4 λ t + 4 λ 2 = 20

Abrindo os quadrados e simplificando:

5 λ 2 + 2 λ + 25 t 2 - 88 λ t - 24 t 16 + 1 = 20   ( I I )

Passo 5

Vamos substituir a expressão ( I ) na expressão ( I I ) :

5 λ 2 + 2 λ + 25 20 λ - 12 7   2 - 88 λ 20 λ - 12 7   - 24 20 λ - 12 7   16 + 1 = 20

Bora simplificar:

1600 λ ² 49 - 6400 λ 49 + 5616 49 - 304 = 0

Resolvendo essa equação do 2° grau, teremos que

λ ' = 10 + 7 5 5

λ ' ' = 10 - 7 5 5

Substituindo no ponto genérico S , teremos:

S ' = 15 + 7 5 5 ,   - 20 - 14 5 5 ,   4

S ' ' = 15 - 7 5 5 ,   - 20 + 14 5 5 ,   4

Resposta

S ' = 15 + 7 5 5 ,   - 20 - 14 5 5 ,   4

S ' ' = 15 - 7 5 5 ,   - 20 + 14 5 5 ,   4

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )