Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Considere as retas r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 1 ,   0 ,   2 ) e s : X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( - 2 ,   1 ,   0 ) .

  1. Determine a posição relativa entre as retas r e s .
  2. Calcule a distância entre as retas r e s .

Passo 1

  1. Pra gente ver a posição relativa entre as retas, a primeira coisa que a gente olha é o vetor diretor delas. No nosso caso, eles são diferentes, e então r → , s → é linearmente independente, o que nos diz que r e s não são paralelas, ou seja, podem ser concorrentes ou reversas. Como a gente decide? Vamos pegar um vetor A B → , que liga dois pontos das duas retas. A gente já tem dois pontos bem na nossa cara, né?
  2. A = 1 ,   2 ,   3   e   B = 1 ,   1 ,   1

    Então o nosso vetor vai ser:

    A B → = 0 , - 1 , - 2

    Agora a gente faz o produto misto de r → , s → e A B → . Por que disso? Porque se as retas forem concorrentes, os três estão no mesmo plano, e aí o produto misto vai dar zero. Caso contrário, o produto misto vai ser diferente de zero, e aí são reversas!

    1 0 2 - 2 1 0 0 - 1 - 2 = - 2 + 0 + 4 - 0 + 0 + 0 = 2

    Como a gente viu aí em cima, o produto misto é diferente de zero, então as retas são reversas!

    Passo 2

  3. A gente pode calcular a distância entre duas retas usando um artifício: a distância entre r e s é igual à distância de um ponto de r até um plano σ , que contém a reta s e é paralelo a r . Sacou? A gente tem então que achar um plano σ que satisfaça essas condições! A equação de σ é então o produto misto de r → , s → e um vetor que liga o ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) da reta s até um ponto genérico ( x , y , z ) :

x - 1 y - 1 z - 1 1 0 2 - 2 1 0 = 0

- 2 x - 4 y + z + 5 = 0

E então, a distância do ponto ( 1,2 , 3 ) da reta r até esse plano é:

d = d r , s = - 2 1 - 4 2 + 1 3 + 5 - 2 2 + - 4 2 + 1 2 = - 2 21

d r , s = 2 21

Resposta

  1. As retas são reversas.
  2. d r , s = 2 21

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )