Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Considere as retas em R 3

r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R }   e r 2   =   { ( 0 ,   - 2 ,   1 )   +   t ( 1 ,   0 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(b) Calcule a distância entre as retas r 1 e r 2 .

(c) Determine a posição relativa entre as retas r 1   e r 2 .

(d) Determine uma equação paramétrica da reta s que liga os dois pontos mais próximos de r 1 e r 2 , ou seja, a reta s com as seguintes propriedades:

(i) s   ⊥   r 1 ;

(ii) s   ⊥   r 2 ;

(iii) s e r 1 são concorrentes;

(iv) s e   r 2 são concorrentes.

Passo 1

Para começar, na letra (b) vamos tentar visualizar essa situação aí, lembrando que pra calcular a distância entre retas temos que ligar as duas por uma reta que seja perpendicular às duas. Dessa forma:

E medir o tamanho, ou seja, módulo do vetor P Q → !

Bom, vamos listar o que já sabemos esse vetor P Q → :

  • Sua origem é um ponto de r 1 e sua extremidade é um ponto de r 2
  • Ele é ortogonal ao vetor diretor de r 1 e r 2 , ou seja, r 1 → ∙ P Q → = 0 e r 2 → ∙ P Q → = 0

Vamos aplicar isso aí então, primeiro achamos o vetor genérico P Q → :

P = 1,0 , 0 + s 1,1 , 0 = ( 1 + s , s , 0 )

Q = 0 , - 2,1 + t 1,0 , 2 = ( t , - 2 ,   1 + 2 t )

P Q → = Q - P = t , - 2 ,   1 + 2 t - 1 + s , s , 0 = ( t - 1 - s , - s - 2,1 + 2 t )

Agora vamos fazer o produto interno desse vetor com os vetores diretores de cada reta:

r 1 → ∙ P Q → = 0

1,1 , 0 ∙ t - 1 - s , - s - 2,1 + 2 t = 0 ⟹ t - 2 s = 3

r 2 → ∙ P Q → = 0

1,0 , 2 ∙ t - 1 - s , - s - 2,1 + 2 t = 0 ⟹ 5 t - s = - 1

Agora é só resolver o sistema:

t - 2 s = 3 5 t - s = - 1

E assim achamos t = - 5 9 e s = - 16 9 .

Substituindo, vamos achar nosso vetor:

P Q → = t - 1 - s , s - 2,1 + 2 t = 2 9 , - 2 9 , - 1 9

Pra terminar, agora, é só calcular o seu módulo:

P Q → = 2 9 2 + - 2 9 2 + - 1 9 2 = 1 3

Passo 2

Na letra (c), para saber a posição relativa das retas, fazemos o determinante do produto misto do vetor ( A B → , r 1 → ,   r 2 → ) sendo A = 1,0 , 0 ,   B = 0 , - 2,1 ,   r 1 → = ( 1,1 , 0 ) e r 2 → = 1,0 , 2 .

A B → = B - A = 0 , - 2,1 - 1,0 , 0 = ( - 1 , - 2,1 )

Se der zero, as retas são coplanares, aí podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes, mas, se não der zero, indica que as retas são reversas.

Mãos a obra:

A B → , r 1 → ,   r 2 → = - 1 - 2 1 1 1 0 1 0 2 = - 2 - 1 + 4 = 1 ≠ 0

Opa, deu diferente de zero, logooo, as retas só podem ser reversas.

Passo 3

Essa reta que queremos na letra (d) é a gerada pelo vetor que liga perpendicularmente os dois planos, ou seja, P Q → .

Para achar a equação paramétrica só preciso de um vetor diretor (que já tenho, P Q → = 2 9 , - 2 9 , - 1 9   ) e um ponto, o qual posso escolher P   ou Q .

Escolhendo P minha reta fica com essa cara:

s = { 1,0 , 0 + t 2 9 , - 2 9 , - 1 9 | t ∈ R }

Resposta

(b)   1 3

(c) Retas reversas

(d)   s = { 1,0 , 0 + t 2 9 , - 2 9 , - 1 9 | t ∈ R }

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )