Enunciado

Um bloco cúbico com densidade ρ B e aresta de comprimento L flutua sobre um líquido de densidade maior ρ L .

a) Qual fração do volume do bloco fica acima da superfície do líquido.

b) O líquido é mais denso do que a água (densidade igual a ρ A ) e não se mistura com ela. Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve ser a camada da água para que a superfície livre da água coincida com a superfície superior do bloco? Expressa a resposta em termos de L , ρ B , ρ L e ρ A . Calcule a profundidade da camada da água de parte (b) se o líquido for mercúrio e o bloco for de aço com aresta de 10,0 cm.

Dados:

ρ m e r c ú r i o = 13,6.10 3 k g / m 3

ρ a ç o = 7,5.10 3 k g / m 3

ρ á g u a = 1,0.10 3 k g / m 3

Passo 1

a):

Vamos escrever as expressões pro peso e pro empuxo:

E = ρ L V s u b m e r s o g

E pro peso:

P = ρ B V g

Como o bloco está em equilíbrio, podemos igualar as forças:

E = P

ρ L V s u b m e r s o g = ρ B V g

V s u b m e r s o V = ρ B ρ L

Pronto, essa é a fração do volume que fica submerso. Pra descobrir qual é a fração que fica acima da superfície livre, basta subtrair isso do 1:

f a c i m a = 1 - V s u b m e r s o V = 1 - ρ B ρ L

Passo 2

b):

Bom, nessa nova situação vão existir dois empuxos: Um causado pela água e um causado pelo fluido. Além disso, a configuração espacial do problema vai ficar assim:

Como você pode ver, a camada de água, o que queremos descobrir, é representada por h a . A camada de água coincide com a superfície do bloco.

Assim, o volume submerso na água será dado por:

V s u b á g u a = A . h a = L 2 . h a

E o volume submerso no fluido vai ser dado por ( L - h a ) vezes a área:

V s u b L = L - h a . L 2

Passo 3

Show? Como esse novo sistema também está em equilíbrio, podemos dizer que a soma dos empuxos será igual ao peso:

Lembrando que: V = L 3

P = E 1 + E 2

ρ B L 3 g = ρ a L 2 . h a g + ρ L L - h a . L 2 g

Cortando L 2 g nos dois lados:

ρ B L = ρ a h a + ρ L L - h a

ρ B L - ρ L L = h a ρ a - ρ L

h a = L . ρ B - ρ L ρ a - ρ L

Como ρ L > ρ B e ρ L > ρ a , o denominador e o numerador vão ser negativos, então vamos multiplicar ambos por - 1 :

h a = L . ρ L - ρ B ρ L - ρ a

Calculando para o aço e o mercúrio:

h a = 10.10 - 2 . 13,6.10 3 - 7,5.10 3 13,6.10 3 - 1,0.10 3 ≅ 0,048 m = 4,8   c m

Resposta

a):

1 - ρ B ρ L

b):

h a = L . ρ L - ρ B ρ L - ρ a

h a = 4,8   c m

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