Um densímetro, que consiste em uma haste de seção reta constante, e comprimento L = 20 cm, flutua em gasolina com h = h1 = 5 cm para fora do líquido. Suponha que você use esse densímetro na mistura gasolina-etanol com que você encheu o tanque do seu carro. Você observa que a haste fica h = h2 = 6 cm para fora. ρ e t a n o l = 0,79 g c m 3 ;   ρ g a s o l i n a = 0,71 g c m 3

a) Calcule a densidade da mistura.

b) Calcule a fração do volume de etanol por volume total da mistura. (Considere o volume total como a soma dos volumes de gasolina e etanol.)

Passo 1

a) Como a haste está flutuando, o empuxo sobre ela vai ser igual ao peso dela!

Vou chamar de A a área transversal dessa haste, ok?

No caso inicial, a haste flutua só na gasolina. Vamos igualar o empuxo ao peso.

E = P

V d e s l o c a d o ρ g a s o l i n a = m g

A h s u b m e r s a ρ g a s o l i n a = m g

h s u b m e r s a = 0,2 - 0,05 = 0,15   m

A × 0,15 × 710 = 10 m

m = 10,65 A

Passo 2

No segundo caso, a haste flutua numa mistura de gasolina e etanol cuja densidade queremos descobrir. Vamos igualar de novo o peso ao empuxo:

A h s u b m e r s a ρ m i s t u r a = m g

Nesse caso h s u b m e r s a vai ser:

h s u b m e r s a = 0,2 - 0,6 = 0,14   m

0,14 A ρ m i s t u r a = m g

Trocando o valor de m:

0,14 A ρ m i s t u r a = 10,65 A g

0,14 ρ m i s t u r a = 106,5

ρ m i s t u r a ≅ 760   k g / m 3

Passo 3

b) Vou chamar a fração de etanol na mistura de n . A fração de gasolina na mistura vai ser 1 - n . E vou fazer tipo uma média ponderada:

ρ m i s t u r a = n ρ e t a n o l + ( 1 - n ) ρ g a s o l i n a

760 = 790 n + 1 - n 710

80 n = 50

n = 5 / 8

Resposta

a) ρ m i s t u r a ≅ 760   k g / m 3

b) n = 5 / 8

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