Enunciado

A figura abaixo apresenta a medição da massa de uma esfera de chumbo em duas situações, utilizando 1 dinamômetro e 1 balança. Sabendo que a esfera metálica com densidade de 8000   k g / m 3 e volume de 2 ∙ 10 - 3   m 3 , está totalmente submersa em água. Determine as leituras A , B , C , em quilogramas, para as situações mostradas na figura. Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala povo, tranquilo? Só pra começar, vamos conversar sobre o que exatamente a questão está pedindo. Tanto o dinamômetro quanto a balança são instrumentos de medição de massa! Portanto, as leituras A , B , C se dadas no S I , devem sair em k g . Na prática mesmo, eles funcionam assim:

  • Dinamômetro Mede a tensão da corda e divide pela gravidade
  • Balança Mede a normal e divide pela gravidade

Assim, eles conseguem achar a massa ou a massa aparente, em alguns casos, dos objetos! Show, então, de forma geral, teremos essas fórmulas pras leituras A , B , C :

L D i n = T g

L B a l = N g

Bora calcular elas?

Passo 2

Só pra começar, vou dizer que mesmo a figura do enunciado não sendo de uma esfera, as de baixo vão ser e isso não muda nada na nossa questão, beleza? Então bora! Concorda comigo que o sistema da direita é meio enrolado? Sólido na água com balança e dinamômetro, muita coisa! Vamos olhar então pra situação da esquerda primeiro:

Como o nosso sólido não sobe nem desce quando está suspenso pelo dinamômetro, vemos que há um equilíbrio vertical de forças:

P = T

O dinamômetro calcula a tensão e divide ela pela gravidade pra encontrar a massa do objeto que está segurando. De forma geral:

L D i n = T g

Nesse nosso caso, como T e P se igualam, então a leitura A nada mais é do que:

L D i n A = P g = m ∙ g g = m

Olha, a gente pode até não ter a massa da bolinha, maaaas, sabemos que podemos relacionar a massa com a sua densidade da seguinte forma:

ρ = m V

m = ρ ∙ V

E assim, temos tudo pra pegar a leitura A , pois do enunciado:

  • ρ = 8000   k g / m 3
  • V = 2 ∙ 10 - 3   m 3

Partiu, como está tudo no S I mesmo:

L D i n A = 8000   k g / m 3 ∙ 2 ∙ 10 - 3   m 3

L D i n A = 16   k g

Passo 3

Agora, na situação da direita, a coisa muda um pouco. Com a nossa esfera submersa, o empuxo aparece pra “ajudar a levantar a esfera”.

Portanto agora o dinamômetro passa a ler um peso aparente. Como ele lê T e o diagrama de forças é:

T + E = P

T = P - E

Da fórmula do peso e do empuxo, temos:

T = m ∙ g - ρ á g u a ∙ V d e   á g u a d e s l o c a d a ∙ g

Já que temos que dividir tudo pela gravidade mesmo, a leitura B do dinamômetro será:

L D i n B = m - ρ á g u a ∙ V d e   á g u a d e s l o c a d a

L D i n B = ρ ∙ V - ρ á g u a ∙ V d e   á g u a d e s l o c a d a

Como a esfera está completamente submersa, o volume de água deslocada vai ser o mesmo ( V ) da esfera, tranquilo? Como ρ á g u a é uma constante conhecida, temos tudo pra calcular já! Mãos a obra!

L D i n B = ρ ∙ V - ρ á g u a ∙ V

Colocando V em evidência e substituindo os valores em seguida, temos:

L D i n B = V ∙ ρ - ρ á g u a

L D i n B = 2 ∙ 10 - 3   m 3 ∙ 8000   k g / m 3 - 1000   k g / m 3

E daí em diante é terminar as contas:

L D i n B = 2 ∙ 10 - 3   m 3 ∙ 7 000   k g / m 3

L D i n B = 14   k g

Passo 4

Agora vamos falar da balança! De novo, vai ser importante olharmos pra todas as forças. Em relação ao passo anterior, a tensão não sumiu nem nada. Nem o peso da esfera ou o empuxo sobre ela:

Só que galera, toda ação gera uma reação! Igual em módulo, sentidos opostos, e sobre corpos diferentes. Se a reação do P é realizado sobre a Terra e a reação da tração é realizada sobre a corda, kedê a reação do empuxo? Bem, vai estar sobre a água!

Tem mais uma coisinha pra gente considerar: o peso do sistema copo-água! Como ele vai estar apontando pra baixo também, sabemos agora exatamente quais forças estão envolvidas na leitura da balança:

N = P + E

A leitura será então:

L B a l = P + E g

L B a l = m c o p o + á g u a ∙ g + ρ á g u a ∙ V d e   á g u a d e s l o c a d a ∙ g g

E dividindo tudo por g :

L B a l = m c o p o + á g u a + ρ á g u a ∙ V e s f e r a

E tudo isso o enunciado deu, ou então nós já achamos! A massa do copo com a água tava indicada na balança da esquerda na figura do enunciado, e vale nove quilos. Sendo assim:

L B a l = 9   k g + 1000   k g / m 3 ∙ 2 ∙ 10 - 3   m 3

L B a l = 9   k g + 2   k g

L B a l C = 11   k g

Resposta

Seja “L” leitura, “Din” dinamômetro, “Bal” balança e A , B , C os pontos que o enunciado pede, as leituras são, em kg:

L D i n A = 16   k g

L D i n B = 14   k g

L B a l C = 11   k g

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