Uma esfera metálica oca flutua quase totalmente submersa em água. Sendo as densidades da água e do ferro, respectivamente, 1   g / c m 3   e 8   g / c m 3 , a razão V i n t / V e x t entre os volumes interno e externo da esfera vale:

(a) 2/10

(b) 1/8

(c) 7/8

(d) 8/7

Passo 1

Primeiramente, vamos lembrar o que é o empuxo. O empuxo (denotado por E ) é a força que aparece em um corpo submerso devido ao fluido em que está submerso. O empuxo é a resultante das forças que aparecem no corpo devido à diferença de pressão que atua nas diferentes partes do corpo em questão.

O módulo do empuxo pode ser calculado a partir da seguinte expressão

E → = ρ l V d e s g

sendo ρ l a densidade do fluido no qual o corpo está submerso, V d e s é o volume de fluido que foi deslocado pelo corpo e g a aceleração da gravidade, suposta constante. O produto ρ l V d e s é igual a massa do volume de fluido deslocado pelo corpo. Assim, podemos ver o empuxo como o peso do volume deslocado (em módulo). É importante lembrar que o empuxo sempre está direcionado para cima!! Vamos para o próximo passo.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o diagrama de forças da nossa esfera oca. O mesmo é dado na figura abaixo.

Na figura anterior,   E → é a força empuxo sobre a esfera submersa e   P → é a força peso da esfera. Como a esfera está praticamente submersa e parada no fluido, podemos dizer que a resultante das forças que atuam sobre a esfera é nula. Deste modo, temos que

E → - P → = 0

P → = E →

E agora, no próximo passo, analisaremos cada uma dessas forças.

Passo 3

Para o nosso caso, o módulo do empuxo sobre a esfera pode ser calculado por

E → = ρ á g u a × V d e s × g

O volume de fluido deslocado pela esfera corresponde ao volume externo da esfera, isto é, V d e s = V e x t . Assim, temo que

E → = ρ á g u a × V e x t × g

Vamos guardar essa equação. Considere agora o módulo da força Peso. Sabemos que o mesmo é dado por

P → = M e s f e r a × g

sendo M e s f e r a a massa da esfera.

A massa da esfera M e s f e r a pode ser expressa da seguinte forma

M e s f e r a = ρ e s f e r a × V e s f e r a

com ρ e s f e r a a densidade da esfera e V e s f e r a o volume da esfera. Como a esfera é feita de ferro, então ρ e s f e r a =   ρ f e r r o . Temos também que, como a esfera é oca, então o volume da esfera é dado por

V e s f e r a = V e x t - V i n t

sendo V e x t o volume da parte externa da esfera oca (ou o volume da esfera de raio R ) e V i n t o volume da parte oca da esfera (ou o volume da esfera de raio r ).

Deste modo, podemos escrever o módulo da força peso da esfera como

P → = M e s f e r a × g = ρ e s f e r a × V e s f e r a × g = ρ f e r r o × V e x t - V i n t × g

Assim, vamos todas as peças que encontramos para resolver o problema no próximo passo.

Passo 4

Agora temos todos os ingredientes para resolver o problema. Vamos nessa!Mostramos no passo 2 que

P → = E →

E no passo 3 que

E → = ρ á g u a × V e x t × g                     e                     P → = ρ f e r r o × V e x t - V i n t × g

Juntando tudo, temos que

P → = E →

ρ f e r r o × V e x t -   V i n t × g =   ρ á g u a × V e x t × g

ρ f e r r o × 1 - V i n t V e x t × V e x t × g =   ρ á g u a × V e x t × g

ρ f e r r o 1 - V i n t V e x t = ρ á g u a

1 - V i n t V e x t = ρ á g u a ρ f e r r o

V i n t V e x t = 1 - ρ á g u a ρ f e r r o

O enunciado diz que   ρ á g u a = 1   g / c m 3 e ρ f e r r o = 8   g / c m 3 . Logo,

V i n t V e x t = 1 - 1 g c m 3 8 g c m 3 = 1 - 1 8 = 7 8

Portanto, a razão V i n t / V e x t é igual a 7 / 8 .

Passo 5

Analisando todas as alternativas, vemos que a alternativa correta é a letra ( c ) .

Resposta

L e t r a   ( c )

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